Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Fig. A.48 illustriert diese Eigenschaft. Bei Projektion in Richtung der Achse a erscheinen alle Erzeugenden einer Schar als parallele Gerade. Wählt man von jeder Schar zwei Erzeugende aus, so erhält man ein windschiefes Viereck ABCD, dessen Parallelriss ein Parallelogramm ist. Mit Hilfe des Parallelrisses ist zu erkennen, dass jede Erzeugende der einen Schar die zur anderen Schar gehörenden Seiten von ABCD im selben Verhältnis teilt. Wenn man also die Seiten AB und DC etwa im Verhältnis 4:5 teilt, so liegt die Verbindungsstrecke der Teilungs- punkte E und F auf dem Paraboloid. Analog kann man auch die Seiten AD und BC in einem beliebigen Verhältnis teilen; die Verbindungsstrecke GH liegt auf dem Paraboloid. Fig. A.49  Fig A.49 Umgekehrt kann man ein beliebiges windschiefes Viereck ABCD vorgeben. Verbindet man die Seiten AB und DC mit Strecken EF so, dass E und F die Seiten AB und DC stets im selben Verhältnis teilen, so lässt sich zeigen, dass die Verbindungsfläche auf einem hyperbolischen Paraboloid liegt. Analog kann man die Seiten AD und BC verbinden; man erhält dieselbe Ver­ bindungsfläche. Fig. A.48 A B E F D C A B G H D C a A B C D  Fig A.48 Freiformflächen Um eine Fläche im CAD kreativ zu modellieren, könntest du viele Dreiecke aneinanderfügen. Wenn die Dreiecke klein genug sind und du sie sehr geschickt platzierst, sieht die „Fläche“ vielleicht sogar einigermaßen glatt aus. Diese Methode ist aber nicht praxistauglich. Die Eingabe einer Freiformfläche erfolgt in der Regel mit Hilfe vorgegebener Kurven ( Fig. A.49). So können etwa Randkurven verbunden werden (linke Freiformfläche) oder Profile (rechte Freiformfläche). Aus den Datensätzen der vorgegebenen Kurven wird die Freiformfläche mit einem schnellen Algorithmus berechnet. Im CAD werden viele Methoden zum Erzeugen von Freiformflächen zur Verfügung gestellt. Die Grundlage für den Berechnungsalgorithmus sind die Kontrollpunkte der Freiformfläche. Sie werden aus den Datensätzen der zu verbindenden Kurven automatisch berechnet. Bei der freien Modellierung können sie auch eingegeben werden. Die Kontrollpunkte einer Freiformfläche bilden in der Regel ein Kontrollnetz mit viereckigen Maschen ( Fig. A.49, rechts). Die Kurvenmodellierung beruht vor allem auf Bezierkurven, den daraus abgeleiteten B-Splinekurven und den noch flexibleren NURBS-Kurven. Analog haben sich auch in der Flächenmodellierung die Bezierflächen, die B-Splineflächen und die NURBS-Flächen als Standard durchgesetzt. Im Folgenden wird ein kurzer Einblick in diese Flächen gegeben. 153 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv