Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Erzeugt man eine Schiebfläche mit zwei Parabeln k 1 und k 2 mit dem gemeinsamen Scheitel S, der gemein­ samen Achse a und orthogonalen Trägerebenen, so erhält man ein elliptisches oder hyperbolisches Paraboloid ( Fig. A.45). Das hyper­ bolische Paraboloid (rechts) ist nicht nur eine Schiebfläche, sondern auch eine (doppelte) Regelfläche (vgl. Kap. 5.6); dies wird weiter unten bewiesen. Fig. A.45 S k 2 k 1 a S k 1 k 2 a  Fig A.45 Wählt man den Scheitel S als Ursprung, die Achse a als z-Achse und die Trägerebenen von k 1 und k 2 als xz-Ebene und yz-Ebene, so können k 1 und k 2 durch x = r · u, y = 0, z = ± u 2 und x = 0, y = s · v, z = v 2 erfasst werden. Das Vorzeichen + in der z-Koordinate von k 1 bedeutet, dass k 1 nach oben geöffnet ist. In diesem Fall liegt ein elliptisches Paraboloid vor. Beim Vor­ zeichen − ergibt sich ein hyperbolisches Paraboloid (wie in Fig. A.46). Durch Addieren der Parameterdarstellungen von k 1 und k 2 erhalten wir eine Parameterdarstellung des Paraboloids: x = r · u , y = s · v , z = ± u 2 + v 2 Fig. A.46 S a k 2 t x y z k 1  Fig A.46 Eliminieren von u und v liefert die Gleichung z = ± x 2 /r 2 + y 2 /s 2 . Wir erkennen daraus, dass die Schnittlinien mit den Parallelebenen zur xy-Ebene (z = c) Ellipsen (Vorzeichen + ) oder Hyperbeln (Vorzeichen −) sind. Dies begründet die Bezeichnungen „elliptisch“ oder „hyperbolisch“ für die Paraboloide. Wenn r = s ist, also die Parabeln k 1 und k 2 kongruent sind, so sind die Schnittlinien beim elliptischen Paraboloid Kreise. Jedes elliptische Paraboloid mit kongruenten Schiebparabeln ist also ein Teil eines Drehparaboloids. Beim hyperbolischen Paraboloid hat die Schnittlinie mit der Ebene z = 0 die Gleichung −s 2 x 2 + r 2 y 2 = 0. Da sich diese Gleichung zu (ry + sx) · (ry − sx) = 0 umformen lässt, besteht die Schnittlinie aus den Geraden ry + sx = 0 und ry − sx = 0. Wir nennen sie die Scheitelerzeugenden des Paraboloids. Überlege, ob die Scheitel­ erzeugenden zueinander normal sind bzw. ob sie zueinander normal sein können. Es gibt noch weitere Geraden auf dem hyperbolischen Paraboloid. Um das zu beweisen, wählen wir die Scheitelerzeugende ry − sx = 0 aus und schnei- den die Fläche mit einer beliebigen Ebene, die parallel zur Verbindungs­ ebene der Scheitelerzeugenden mit der Achse a ist ( Fig. A.47). Diese Ebene hat die Gleichung ry − sx = c. Da sich die Gleichung z = −x 2 /r 2 + y 2 /s 2 des hyperbolischen Paraboloids zu r 2 s 2 z = (ry + sx) · (ry − sx) umformen lässt, ist für die Schnittlinie mit der Ebene ry − sx = c der zweite Faktor auf der rechten Seite der Gleichung gleich c, also konstant. Die verbleibende Gleichung ist linear und stellt daher eine Ebene dar. Da alle Punkte der Schnittlinie auch diese Gleichung erfüllen, liegt die Schnittlinie in zwei Ebenen und ist daher eine Gerade. Wir nennen sie eine Erzeugende des Paraboloids. Fig. A.47 a t x y z SS  Fig A.47 Analog kann man die andere Scheitelerzeugende ry + sx = 0 auswählen und die Fläche wieder mit einer Ebene schneiden, die parallel zur Verbindungsebene der Scheitelerzeugenden mit der Achse a ist. Auch diese Schnittlinie ist eine Gerade, also eine Erzeugende. Auf einem hyperbolischen Paraboloid liegen demnach zwei Scharen von Erzeugenden. Jede Schar „gehört“ zu einer Scheitelerzeugenden. Alle Erzeugenden einer Schar sind parallel zur Verbindungsebene der Paraboloidachse mit der betreffenden Scheitelerzeugenden. Zwei Erzeugende aus derselben Schar sind stets windschief, zwei Erzeugende aus verschiedenen Scharen sind stets scheidend. Def  Def  Def  k 152 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv