Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Die Erzeugende e kann durch den Punkt A(d|0|0) und den Richtungsvektor r = (0|1|k) erfasst werden. Daraus ergibt sich x(v) = d, y(v) = v, z(v) = v · k als Parameterdarstellung von e. Durch Einsetzen in die allgemeine Parameterdarstellung einer Drehfläche erhalten wir x = d · cos u − v · sin u  , y = d · sin u + v · cos u  , z = v · k Um eine Gleichung dieser Drehfläche zu ermitteln, müssen wir die Parameter u und v eliminieren. Wegen x 2 + y 2 = d 2 + v 2 und v = z/k erhalten wir x 2 k 2 + y 2 k 2 − z 2 = d 2 k 2 Der Meridian in der yz-Ebene (x = 0) hat die Gleichung y 2 k 2 − z 2 = d 2 k 2 und ist daher eine Hyperbel mit der y-Achse als Hauptachse und der z-Achse als Nebenachse. Die Drehfläche ist also ein einschaliges Drehhyperboloid. Dies wurde von Christopher Wren (1632 – 1723) entdeckt. Schraubflächen Wird eine Kurve e um eine Achse a geschraubt, so überstreicht sie eine Schraubfläche ( Fig. A.42). Eine Schraubung setzt sich aus einer Drehung um a und einer Schiebung parallel zu a zusammen, wobei der Drehwinkel proportional zur Schiebstrecke ist. Der Proportionalitätsfaktor p wird als Schraubparameter bezeichnet. Schraubflächen lassen sich analog zu Drehflächen erfassen; hier bleibt die z-Koordinate aber nicht konstant, sondern vergrößert sich um p · u. Die Parameterdarstellung der Schraubfläche lautet also: x = x(v) · cos u − y(v) · sin u ,   y = x(v) · sin u + y(v) · cos u , z = z(v) + p · u Diese Darstellung beschreibt eine Rechtsschraubfläche ; für eine Links­ schraubfläche ist u durch −u zu ersetzen. Fig. A.42 a e  Fig A.42 Das linke Bild in Fig. A.43 zeigt eine Wendelfläche. Sie entsteht durch Schrauben einer Geraden e, die die Schraubachse a rechtwinklig trifft. Bei geeigneter Anpassung des Koordinatensystems (z-Achse auf a, x-Achse auf e) kann sie wie folgt beschrieben werden: x = v · cos u , y = v · sin u , z = p · u Das rechte Bild zeigt eine Kreisschraubfläche, deren erzeugender Kreis e in einer Normalebene zur Schraubachse a liegt. Ermittle selbst eine Parameter- darstellung dieser Schraubfläche. Fig. A.43 a e a e  Fig A.43 Schiebflächen Gegeben sind zwei Kurven k 1 und k 2 , die einen gemeinsamen Punkt S haben. Wird die Kurve k 1 entlang der Kurve k 2 geschoben, so überstreicht k 1 eine Schiebfläche ( Fig. A.44). Wird umgekehrt k 2 entlang von k 1 geschoben, entsteht dieselbe Fläche. Beachte zur Begründung, dass das Viereck SK 1 PK 2 ein Parallelogramm ist. Der Vektor SP ist die Summe der Vektoren  SK 1 und SK 2  . In einem Koordinatensystem mit dem Ursprung in S gilt also P = K 1 + K 2 . Beschreibt man die Kurven k 1 und k 2 in diesem Koordinatensystem durch Parameterdarstellungen mit den Parametern u und v, so ergibt sich durch Addieren von K 1 (x 1 (u)|y 1 (u)|z 1 (u)) und K 2 (x 2 (v)|y 2 (v)|z 2 (v)) eine Parameterdarstellung der Schiebfläche: x = x 1 (u) + x 2 (v) , y = y 1 (u) + y 2 (v) , z = z 1 (u) + z 2 (v) Fig. A.44 S K 2 K 1 P k 1 k 2  Fig A.44 Def  Def  Def  151 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv