Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Klassische Flächen In Kap. 5 wurden einige Flächen definiert, die als „klassisch“ bezeichnet werden. Hier beschäftigen wir uns mit der mathematischen Beschreibung und Untersuchung von Dreh-, Schraub- und Schiebflächen. Fig. A.38 e a  Fig A.38 Nun können wir die Parameterdarstellung einer Drehfläche angeben, die von einer Kurve e mit der Parameter­ darstellung x = x(v), y = y(v), z = z(v) erzeugt wird: x = x(v) · cos u − y(v) · sin u , y = x(v) · sin u + y(v) · cos u , z = z(v) Legen wir das Parameterintervall für den Drehwinkel u mit 0 ≤ u < 2 π fest, so vollführt die erzeugende Kurve e eine volle Umdrehung; für ein kleineres Parameterintervall erhalten wir nur einen Teil der Drehfläche. Um eine Torusfläche mit dem Mittenkreisradius R und dem Meridiankreisradius r zu erfassen, wählen wir den erzeugenden Kreis e etwa in der xz-Ebene: x(v) = R + r · cos v , y(v) = 0 , z(v) = r · sin v Damit ergibt sich für die Torusfläche: x = (R + r · cos v) · cos u , y = (R + r · cos v) · sin u , z = r · sin v e a M x z r R v P e  Fig A.39 Setzen wir in der Parameterdarstellung der Torusfläche für R = 0 ein, so erhalten wir eine Kugelfläche: x = r · cos v · cos u , y = r · cos v · sin u , z = r · sin v Die Parameter u und v entsprechen der geografischen Länge und Breite. Wenn du etwa den Meridian von Jerusalem (35,2° öL, 31,8° nB) darstellen möchtest, musst du u = 35,2° = 0,614 rad eingeben und v von – π /2 bis π /2 variieren lassen. Der Breitenkreis von Jerusalem ergibt sich für v = 31,8° = 0,555 rad; hier muss u von 0 bis 2 π laufen. Fig. A.40  Fig A.40 Rotiert eine Gerade e um eine zu ihr windschiefe Achse a, so entsteht eine Drehfläche mit einer „Einschnürung“ ( Fig. A.41). Um diese Fläche näher zu untersuchen, passen wir das Koordinatensystem an die Fläche an: Wir legen die z-Achse auf die Drehachse a und die x-Achse auf die gemeinsame Normale von a und e. Die Lage von e in diesem Koordinatensystem wird durch ihren Abstand d von a sowie durch ihre Steigung k bezüglich der xy-Ebene festgelegt. Fig. A.41 a e e x y z 1 k d m a  Fig A.41 Drehflächen Wird eine Kurve e um eine Achse a gedreht, so überstreicht sie eine Drehfläche ( Fig. A.38). Um sie mathematisch zu erfassen, müssen wir die Drehung um eine Achse beschreiben können. Wir beschränken uns hier auf die Drehung um die z-Achse, bei der sich nur die x- und y-Koordinaten des rotierenden Punktes ändern. Dreht man P 1 (x 1 |y 1 |z 1 ) um den Winkel u in den Punkt P 2 (x 2 |y 2 |z 2 ), so lauten die Transformationsgleichungen: x 2 = x 1 · cos u − y 1 · sin u , y 2 = x 1 · sin u + y 1 · cos u , z 2 = z 1 Def  150 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv