Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Krumme Flächen Unter einer Fläche kannst du dir eine „zweidimensionale Punktmenge“ vorstellen. Ist die Fläche nicht eben oder aus ebenen Flächen zusam- mengesetzt, so liegt eine krumme Fläche vor. In der Realität werden krumme Flächen oft durch lückenlos aneinandergereihte ebene Flächen angenähert. Bei der in Fig. A.35 zu sehenden Fläche (Mur-Insel, Graz) wurden Dreiecke verwendet. Dies ist die einfachste Approximation einer krummen Fläche durch ebene Flächen. Fig. A.35  Fig A.35 Die mathematische Beschreibung einer Fläche kann durch eine Gleichung der Gestalt F(x,y,z) = c erfolgen; die Fläche besteht aus allen Punkten P(x|y|z), die die Gleichung erfüllen. So wird etwa durch die Gleichung x 2 + y 2 + z 2 = r 2 eine Kugelfläche mit dem Radius r erfasst. Um eine durch eine Gleichung gegebene Fläche zu untersuchen, sind ihre Schnittkurven mit Ebenen hilfreich, die zu den Koordinatenebenen parallel sind. Wenn wir etwa die durch x 2 + y 2 − z 2 = 0 beschriebene Fläche mit einer Parallelebene zur xy-Ebene (z = c) schneiden, so erhalten wir eine Kurve mit der Gleichung x 2 + y 2 − c 2 = 0, also einen Kreis. Die Schnittkurve mit der Ebene x = 0 hat die Gleichung y 2 − z 2 = 0, also (y + z) · (y − z) = 0, und besteht daher aus zwei Geraden. Dies lässt die Fläche als Drehkegelfläche erkennen, deren Spitze der Koordinatenursprung und deren Achse die z-Achse ist. Begründe, dass die durch x 2 + y 2 − z = 0 beschriebene Fläche ein Drehparaboloid ist. Untersuche, ob die durch x 2 + y 2 − z 2 = 1 beschriebene Fläche ein einschaliges Drehhyperboloid ist. Wesentlich wichtiger als Gleichungen sind Parameterdarstellungen von Flächen. Hier wird jeder Flächenpunkt P(x|y|z) in Abhängigkeit von zwei Parametern u und v angegeben, die jeweils ein Intervall a ≤ u ≤ b und c ≤ v ≤ d durchlaufen: P = (x(u,v)|y(u,v)|z(u,v)) oder x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) Eine Parameterdarstellung verursacht auf der Fläche verlaufende Parameterlinien ( Fig. A.36). Wenn wir für v einen konstanten Wert ver­ wenden und u variieren lassen, so erhalten wir eine auf der Fläche verlaufende u-Linie (rot). Umgekehrt erhalten wir eine v-Linie (blau), wenn wir für u einen konstanten Wert ver­ wenden und v variieren lassen. Eine Auswahl von Parameterlinien bezeichnet man als Netz ; es dient zur Visualisierung der Fläche. P x y z u v u v a b c d (u,v)  Fig A.36 Bei der Fläche in Fig. A.36 handelt es sich übrigens um eine Schraubfläche mit der Parameterdarstellung x = −(2 + cos v) · sin u , y = (2 + cos v) · cos u , z = sin v + u/2 Das Parameterrechteck wird durch 0 ≤ u ≤ 3 π /2 und π /2 ≤ v ≤ 3 π /2 beschrieben. Im folgenden Abschnitt erfährst du mehr über konkrete Parameterdarstellungen von „klassischen“ Flächen. Tangentialebenen und Flächennormale Wenn wir für u und v beliebige Funktionen u = u(t) und v = v(t) in die Parameterdarstellung der Fläche einsetzen, erhalten wir eine Flächen- kurve . Ihre Tangenten berühren die Fläche und werden Flächentangenten genannt. In der Regel liegen alle durch einen Flächenpunkt P gehenden Flächentangenten in einer Ebene t , die man die Tangentialebene von P nennt ( Fig. A.37). Die durch P gehende Normale n von t wird Flächen­ normale von P genannt. Die Berechnung von Tangentialebenen mit Hilfe der Differentialrechnung erfordert partielle Ableitungen, die hier nicht behandelt werden. P t n  Fig A.37 Def  Def  Def  Def  149 N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv