Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Ebene Schnitte von Drehzylinder- und Drehkegelflächen In der Raumgeometrie treten die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel als ebene Schnitte von Drehzylinder- und Drehkegelflächen auf. In Fig. A.32 kannst du einen anderen Beweis für den Ellipsenschnitt einer Drehzylinderfläche nachvollziehen. Dieser Beweis hat den Vorteil, dass er sich auf Drehkegelflächen übertragen lässt. Schneidet man eine Drehzylinderfläche mit einer Ebene ε , die schräg zur Zylinderachse liegt, so ist die Schnittkurve stets eine Ellipse. Anhand von Fig. A.31 kannst du einen einfachen Beweis nachvollziehen: Für die Halbsehne QP der Schnittkurve und die Halbsehne Q2 des Kreises k gilt, dass ihre Längen im Verhältnis 1 : cos a stehen. Da dieses Verhältnis konstant ist, ist die Schnittkurve nach dem Satz von Archimedes eine Ellipse. Fig. A.31 M P Q 2 1 A a a k A P M=Q 12 a r e k  Fig A.31 Nach einer Idee von Pierre Dandelin (1794 – 1847) verwenden wir zwei auf der Zylinderachse zentrierte Kugeln, welche die Drehzylinderfläche längs Kreisen und die Schnittebene in den Punkten F 1 und F 2 berühren. Legen wir nun durch einen beliebigen Punkt P der Schnittkurve die Erzeugende der Dreh­ zylinderfläche, so berührt sie die beiden Kugeln in den Punkten E 1 und E 2 . Die Strecken PE 1 und PF 1 sind von P ausgehende Tangentenstrecken an die untere Kugel und daher gleich lang; ebenso sind PE 2 und PF 2 gleich lang. Somit gilt: PF 1 + PF 2  = PE 1 + PE 2   = E 1 E 2 Da die Länge der Strecke E 1 E 2 als Abstand der beiden Berührkreise konstant ist, folgt die Behauptung. Fig. A.32 e F 1 F 2 P E 1 E 2 E 2 E 1 P F 1 F 2  Fig A.32 Schneidet man eine Drehkegelfläche mit einer Ebene ε , die schräg zur Kegelachse liegt und nicht durch die Spitze S geht, so ist die Schnittkurve stets eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Dies begründet die gemeinsame Bezeichnung Kegelschnitte für diese drei Kurven. Der Typ der Schnittkurve hängt vom Neigungs- winkel der Schnittebene ab ( Fig. A.33). Wir können die drei Fälle anhand der Ebene unterscheiden, die parallel zur Schnittebene ist und durch die Spitze S geht: Die Schnittkurve ist eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel, wenn die Parallelebene keine, genau eine oder zwei Erzeugende der Drehkegelfläche enthält. Fig. A.33 S e S e S e  Fig A.33 Der Beweis für diese Aussagen kann wie für den Schrägschnitt einer Dreh- zylinderfläche mit Hilfe von eingeschriebenen Kugeln erfolgen. Im Fall der Ellipse ist der Beweis nahezu identisch. Im Fall der Hyperbel liegt die obere Kugel im oberen Teil des „Doppelkegels“ und die Abstandssumme ist durch die Abstandsdifferenz zu ersetzen. Nur im Fall der Parabel muss der Beweis stärker adaptiert werden; hier gibt es nur eine eingeschriebene Kugel. Führe den Beweis selbst anhand von Fig. A.34. S F P l E e  Fig A.34 k k L 145 148 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv