Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Im Koordinatensystem von Fig. A.29 lässt sich die Gleichung der Parabel aus der Brennpunktdefinition leicht herleiten: y 2 = 2px. Als Parameterdarstellung können wir x = u 2 /2p, y = u verwenden, mit – ¥ < u < ¥ . In Fig. A.29 ist auch eine Möglichkeit zum Konstruieren von Tangenten zu erkennen: Die Tangente t in einem Parabelpunkt P schließt mit dem Brennstrahl PF und der achsenparallelen Geraden durch P gleich große Winkel ein. Zum Beweis differenzieren wir die Parameterdarstellung der Parabel und erhalten damit (u/p|1) als Rich- tungsvektor der Tangente t in P(x|y). Die Koordinaten des Vektors  FG können wir unmittelbar ablesen: (−p|y). Wegen y = u gilt (u/p|1) · (−p|y) = 0. Daher ist t zu FG normal. Die Tangente t ist also die Höhe im gleichschenkligen Dreieck FPG, also auch die Winkelsymmetrale des Winkels ∠ FPG. Beweise selbst, dass der Scheitel A die Subtangente T1 („Strecke unter der Tangente t“) halbiert und dass die Subnormale 12 („Strecke unter der Normalen n“) die Länge p hat. Diese beiden Eigenschaften kannst du auch zum Konstruieren der Tangente t im Punkt P verwenden. Die Reflexionseigenschaft, also dass achsenparallele Strahlen nach Reflexion an der Parabel durch den Brenn- punkt gehen, hat bei der Datenübermittlung eine wichtige Anwendung gefunden (vgl. Kap. 6.2). Schiefe Symmetrie der Ellipse, Hyperbel und Parabel Die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel können durch Spiegelungen an ihren Achsen in sich übergeführt werden. Die Kurven sind orthogonal symmetrisch. Es lässt sich zeigen, dass die Kurven auch schief symmetrisch sind. Sie können also durch schiefe Spiegelungen in sich übergeführt werden. Bei einer schiefen Spiegelung sind die Verbindungsstrecken entsprechender Punkte P und P* parallel und werden von der Spiegelachse a halbiert. Im Gegensatz zur gewöhnlichen (orthogonalen) Spiegelung sind aber die Spiegelgeraden PP* nicht normal zu a. Die Spiegelrichtung kann beliebig festgelegt werden ( Fig. A.30). Wähle bei der Ellipse bzw. der Hyperbel die Punkte P und P* so, dass ihre Verbindungsstrecke nicht durch den Mittelpunkt M geht. Die Spiegelachse a ist die Verbindungsgerade von M mit dem Halbierungspunkt H der Strecke PP*. Bei der Parabel geht die Spiegelachse a durch H und ist parallel zur Parabelachse. Beachte, dass die Tangenten t und t* einander auf a schneiden und dass die Tangenten in den Schnittpunkten von a parallel zur Spiegelrichtung sind. Bei der Hyperbel gehen auch die Asymptoten durch die Spiegelung an a in sich über. Daraus folgt, dass im dritten Bild von Fig. A.30 die Strecken PQ und P*Q* gleich lang sind. Parabel Die Parabel ist nach dem Kreis die wohl am häufigsten auftretende Kurve. Du kennst sie etwa als Flugbahn eines Balls. Nach der klassischen Brennpunktdefinition ist die Parabel die Menge aller in einer Ebene liegenden Punkte P, deren Abstände PF und PI von einem festen Punkt F und einer festen Geraden l der Ebene jeweils gleich sind ( Fig. A.29). Der Punkt F wird Brennpunkt , die Gerade l wird Leitgerade der Parabel genannt. Aus der Definition folgt, dass die aus F auf l errichtete Normale eine Symmetrieachse ist; wir nennen sie die Achse der Parabel. Der Scheitel A ist der Schnittpunkt der Parabel mit der Achse; er halbiert die Strecke FL. Der Parameter p ist der Abstand von F und l. Fig. A.29 F A l L P t T 1 2 G S x y p p n  Fig A.29 P P* H M t* t a Fig. A.30 P* P H t* t a P* M P t H t* a P P* H M t t* a Q Q*  Fig A.30 Def  Def  k 147 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv