Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Die Abstandsdifferenz aus der Definition ist gleich dem Abstand von A und B, da BF 1 – BF 2 = BF 1 – AF 1   = AB gilt. Wir bezeichnen die Abstandsdifferenz mit 2a und nennen den Abstand a der Hauptscheitel vom Mittelpunkt die halbe Hauptachsenlänge . Wie bei der Ellipse bezeichnen wir den Abstand der  Brennpunkte vom Mittelpunkt mit e. Der Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius e schneidet die Tangenten in den Hauptscheiteln A und B in vier Punkten, die ein Rechteck mit den Seitenlängen 2a und 2b bilden. Die Diagonalen dieses Rechtecks nennen wir die Asymptoten u und v der Hyperbel. Für die formgebenden Größen a, b und e gilt die Beziehung e 2 = a 2 + b 2 . Eine Ellipse mit a = b ist ein Kreis. Eine Hyperbel mit a = b hat zueinander normale Asymptoten und wird gleichseitige Hyperbel genannt. In Fig. A.28 ist auch eine Möglichkeit zum Konstruieren von Tangenten zu erkennen. Analog zur Ellipse gilt: Die Tangente t in einem Hyperbelpunkt P schließt mit den Brennstrahlen PF 1 und PF 2 gleich große Winkel ein. Im Koordinatensystem von Fig. A.28 lässt sich die Gleichung der Hyperbel aus der Brennpunktdefinition durch einige Umformungen herleiten: b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 Die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel verwendet die Hyperbelfunktionen (cosinus hyperbolicus, sinus hyperbolicus), die durch cosh u = (e u + e −u )/2 und sinh u = (e u − e −u )/2 definiert werden können. Die Parametrisie- rung des rechten Hyperbelastes ist x = a · cosh u, y = b · sinh u, mit    – ¥ < u < ¥ . Die Asymptoten u und v haben die Steigungen b/a und −b/a und daher die Gleichungen bx − ay = 0 und bx + ay = 0. Mit einiger Mühe lässt sich nachrechnen, dass sich die Hyperbel ihren Asymptoten monoton nähert, ihnen beliebig nahe kommt, sie aber nie erreicht. Heuristisch ist das leicht einzusehen: Die Hyperbelgleichung b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 kann in der Form (bx + ay) · (bx − ay) = a 2 b 2 geschrieben werden. Strebt nun der Hyperbelpunkt P etwa im ersten Quadranten unbegrenzt nach oben, so strebt der erste Faktor gegen ¥ . Da das Produkt konstant ist, muss der zweite Faktor gegen 0 streben. Das bedeutet aber, dass der Hyperbelpunkt P fast auf der Asymptote u liegt. Die linke Konstruktion zeigt, wie man die halbe Nebenachsenlänge b ermitteln kann, wenn die Hauptscheitel A, B und ein beliebiger Punkt P der Ellipse bekannt sind. Die Begründung ergibt sich unmittelbar aus der Papierstreifenkonstruktion. Die rechte Konstruktion zeigt, wie man die Krümmungskreise in den Scheiteln konstruieren kann. Die Ellipse wird von diesen Kreisen nicht nur berührt, sondern bestmöglich approximiert. a a b A B P X Y M A B C D M M B M C Fig. A.27  Fig A.27 In Kap. 2.2 und Kap. 4.2 sind Ellipsen, die als Normalrisse von Kreisen auftreten, händisch zu zeichnen. Fig. A.27 zeigt zwei Konstruktionen, die es ermöglichen, Ellipsen besonders „schön“ zu zeichnen, unter Beachtung der symmetrischen Lage zu Haupt- und Nebenachse. Hyperbel Ersetzt man in der Definition der Ellipse die Summe durch die Differenz, so erhält man eine Hyperbel . Sie ist demnach die Menge aller in einer Ebene liegenden Punkte P, für die die Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 der Ebene konstant ist ( Fig. A.28). Die Hyperbel besteht aus zwei Teilen, die wir Äste nennen. Für den rechten Ast ist PF 1 – PF 2 konstant, für den linken Ast PF 2 – PF 1 . Die Punkte F 1 und F 2 werden Brennpunkte der Hyperbel genannt. Aus der Definition folgt, dass die Verbindungsgerade F 1 F 2 sowie die Streckensymmetrale von F 1 und F 2 Symmetrieachsen der Hyperbel sind. Wir nennen sie die Hauptachse und die Nebenachse der Hyperbel. Ihr Schnitt- punkt ist der Mittelpunkt M. Die Hauptscheitel A und B sind die Schnitt- punkte der Hyperbel mit der Hauptachse. Im Gegensatz zur Ellipse hat die Hyperbel keine Nebenscheitel. Fig. A.28 F 1 F 2 P t e b a M y x a b e u v A B  Fig A.28 Def  Def  Def  146 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv