Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Die Abstandssumme aus der Definition ist gleich dem Abstand von A und B, da AF 1 + AF 2  = BF 2 + AF 2   = AB gilt. Wir bezeichnen die Abstandssumme mit 2a und nennen den Abstand a der Hauptscheitel vom Mittelpunkt die halbe Hauptachsenlänge . Der Abstand b der Nebenscheitel vom Mittelpunkt wird halbe Nebenachsenlänge genannt. Wegen CF 1 + CF 2  = 2a und CF 1 = CF 2   ist der Abstand der Nebenscheitel von den Brennpunkten gleich a. Wenn wir den Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt mit e bezeichnen, so gilt zwischen den formgebenden Größen a, b und e der Ellipse die Beziehung a 2  = e 2 + b 2 . In Fig. A.24 ist auch eine Möglichkeit zum Konstruieren von Tangenten zu erkennen. Es lässt sich zeigen, dass die Tangente t in einem Ellipsenpunkt P mit den Strecken PF 1 und PF 2 gleich große Winkel einschließt. Dies erklärt eine bemerkenswerte Reflexionseigenschaft der Ellipse: Alle von einem Brennpunkt ausgehenden Strahlen gehen nach der Reflexion an der Ellipse durch ihren zweiten Brennpunkt. Die Medizin nutzt diese Eigenschaft beim Zertrümmern von Nierensteinen. Der Patient befindet sich dabei in einem mit Wasser gefüllten ellipsen­ förmigen Becken, sein Nierenstein ist in einem Brennpunkt. Vom anderen Brennpunkt ausgesandte Stoßwellen (Ultraschall) werden durch die Reflexion auf den Stein fokussiert und zertrümmern ihn. Im Koordinatensystem von Fig. A.24 lässt sich die Gleichung der Ellipse aus der Brennpunktdefinition durch einige Umformungen herleiten: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Die übliche Parameterdarstellung der Ellipse ist x = a · cos u, y = b · sin u, mit 0 ≤ u < 2 π . Durch Einsetzen in die Gleichung kannst du dich überzeugen, dass tatsächlich eine Ellipse mit den Halbachsenlängen a und b erfasst wird. Die Parameterdarstellung lässt auch erkennen, dass die Ellipse durch Skalieren des Einheitskreises x = cos u, y = sin u mit den Skalierungsfaktoren a und b erzeugt werden kann. Dass Ellipsen auch durch Skalieren von Kreisen erzeugt werden können, war bereits Archimedes (285 – 212 v. Chr.) bekannt: Verkürzt oder ver­ längert man die zu einem Durchmesser normalen Halbsehnen eines Kreises in einem konstanten Verhältnis, so liegen die neuen Endpunkte auf einer Ellipse ( Fig. A.25). Wir beweisen dies für das Verkürzen der Halbsehnen mit dem Faktor p < 1. Die Koordinaten des Kreispunktes P(x|y) und des Punktes P 1 (x 1 |y 1 ) hängen durch x 1 = x und y 1 = p · y zusammen (Skalierung der y-Koordinaten). Aus der Parameterdarstellung x = r · cos u, y = r · sin u des Kreises ergibt sich x 1 = r · cos u, y 1 = p · r · sin u. Dies ist die Parameterdarstellung einer Ellipse mit der halben Hauptachsenlänge r und der halben Nebenachsenlänge p · r. Fig. A.25 x y P P 1 P 2 T T 1 T 2 C C 1 C 2 M r k k 2 k 1 F  Fig A.25 Der Kreis k ist für die Ellipse k 1 der Hauptscheitelkreis , für die Ellipse k 2 der Nebenscheitelkreis .   Fig. A.25 zeigt auch, wie man das Verkürzen bzw. Verlängern der Halbsehnen mit Hilfe des Strahlensatzes durchführen kann, wobei ein Fixpunkt F auf der x-Achse verwendet wird. Einen derartigen Fixpunkt gibt es auch für die Tangenten in den zugeordneten Punkten T, T 1 und T 2 . Fig. A.26 (links) zeigt eine Variante der Konstruktion von Archimedes, die von Philippe de la Hire (1640 – 1718) stammt. Mit ihr können Ellipsenpunkte mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken unter Einbeziehung des Haupt- und Nebenscheitelkreises konstruiert werden. Beschreibe und begründe die Konstruktion. Fig. A.26 t 1 2 A B C D M P a b A B C D M a b P X Y a-b b 1 2  Fig A.26 Aus der Konstruktion von de la Hire lässt sich die Papierstreifenkonstruktion der Ellipse herleiten. Die in Fig. A.26 (rechts) durch P gelegte Parallele zu M1 schneidet die Hauptachse in X und die Nebenachse in Y. Mit Hilfe der Parallelogramme MXP2 und MYP1 erkennt man, dass PX = b und PY = a ist. Wenn man also auf einem Papier­ streifen die Punkte P, X, Y markiert und dann den Papierstreifen so bewegt, dass X auf der Hauptachse und Y auf der Nebenachse gleiten, so durchläuft P die Ellipse. Def  k k Def  145 N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv