Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A In Fig. A.22 sind geschlossene B-Splinekurven zu sehen. Im Gegensatz zu den vorhin beschriebenen offenen B-Splinekurven haben sie keinen Anfangs- und Endpunkt. Die linke Kurve hat den Grad 2 und besteht aus Parabelbögen; sie berühren die Strecken des Kontrollpolygons in den Halbierungspunkten. Die rechte Kurve hat den Grad 3 und besteht aus kubischen Bezierkurven. Fig. A.22  Fig A.22 NURBS-Kurven Mit B-Splinekurven lässt sich jede Kurve beliebig genau approximieren. Sie haben aber auch einen Nachteil: Gerade in der Technik so wichtige Kurven wie Kreis-, Ellipsen- und Hyperbelbögen können nicht exakt erfasst werden. Dieses Manko wird durch die noch flexibleren NURBS-Kurven (NURBS = Non Uniform Rational B-Splines) behoben. Mit ihnen wird eine einheitliche Erfassung aller (wichtigen) Kurven erreicht. Vereinfacht gesagt können bei NURBS-Kurven die Kontrollpunkte mit unterschiedlichen Gewichten versehen werden. Sie regeln die „Anziehungskräfte“ der Kontrollpunkte auf die in der „näheren Umgebung“ liegenden Kurventeile. Durch Erhöhen eines Gewichts wird die Kurve zum betreffenden Kontrollpunkt hingezogen, durch Vermindern wird sie vom Kontrollpunkt weggedrückt. Die analytische Erfassung von NURBS-Kurven erfolgt mit rationalen Funktionen (anstelle von Polynomfunktionen); dies drückt auch der Name aus. Fig. A.23 zeigt die Gewichtung anhand des wichtigsten Spezialfalls: Die schwarze Kurve ist eine B-Splinekurve vom Grad 2 mit drei Kontroll- punkten, also ein Parabelbogen. Erhöht man das Gewicht des Kontroll- punktes B 2 , so erhält man einen Hyperbelbogen (blaue Kurve); verringert man dieses Gewicht, so erhält man einen Ellipsenbogen (grüne Kurve). Wenn B 2 auf der Streckensymmetrale von B 1 B 3 liegt, lässt sich bei entsprechender Gewichtung von B 2 ein Kreisbogen erzeugen. Fig. A.23 B 2 B 1 B 3  Fig A.23 Quadratische Kurven Alle Punkte P(x|y), die eine lineare Gleichung ax + by = c mit (a,b) ≠ (0,0) erfüllen, liegen bekanntlich auf einer Geraden. Die analoge Frage bei einer quadratischen Gleichung ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey = f mit (a,b,c) ≠ (0,0,0) ist viel schwieriger zu beantworten. Es kann keinen, einen oder unendlich viele Lösungspunkte geben. Wenn es unendlich viele Lösungspunkte gibt, so liegen diese entweder auf einer oder zwei Geraden (Sonderfall) oder auf einer Kurve (allgemeiner Fall). Die Kurve kann ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel sein. Diese Kurven sind seit der Antike wichtig und treten bei vielen Anwendungen auf. Im Folgenden werden einige Eigen- schaften – ausgehend von der Brennpunktdefinition – hergeleitet und der Bezug zu ebenen Schnitten von Drehkegeln hergestellt. Ellipse Du hast sicher schon vom Ersten Keplerschen Gesetz gehört: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, die Sonne steht in einem Brennpunkt. Dieses Gesetz entspricht dem klassischen Zugang zur Ellipse, nämlich der Brenn­ punktdefinition. Die Ellipse ist die Menge aller in einer Ebene liegenden Punkte P, für die die Summe PF 1 + PF 2 der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 der Ebene konstant ist ( Fig. A.24). Die Punkte F 1 und F 2 werden Brennpunkte der Ellipse genannt. Aus der Definition folgt, dass die Verbindungsgerade F 1 F 2 sowie die Streckensymmetrale von F 1 und F 2 Symmetrieachsen der Ellipse sind. Wir nennen sie die Hauptachse und die Nebenachse der Ellipse. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M. Die Hauptscheitel A und B sind die Schnittpunkte der Ellipse mit der Hauptachse, die Neben- scheitel C und D sind die Schnittpunkte mit der Nebenachse. a b e P t F 1 F 2 A B C D x y a b e M Fig. A.24  Fig A.24 Def  144 Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv