Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Freiformkurven Um eine Kurve im CAD kreativ zu modellieren, könntest du viele Strecken aneinanderfügen. Wenn die Strecken kurz genug sind und du sie sehr geschickt platzierst, sieht die „Kurve“ vielleicht sogar einigermaßen glatt aus. Diese Methode ist aber nicht praxistauglich. Freiformkurven werden durch (wenige) Punkte festgelegt. Die Kurve kann exakt durch diese Punkte gelegt werden (Interpolation) oder nur in ihrer Nähe verlaufen (Approximation). Auch Tangenten können berücksichtigt werden ( Fig. A.18). Die Software berechnet eine Kurve und stellt sie schon während der Eingabe interaktiv dar. Zum Nachjustieren der Kurve dienen Kontrollpunkte. Sie werden in der Regel automatisch berechnet, können aber vom Benutzer auch direkt eingegeben werden. Die Verbindungs­ strecken aufeinander folgender Kontrollpunkte bilden einen Streckenzug, der als Kontrollpolygon bezeichnet wird. Fig. A.18 A B C D E t  Fig A.18 Für die üblichen Freiformkurven sind Bezierkurven grundlegend. Sie wurden um 1960 zum Design von Autos entwickelt (Pierre Bézier bei Renault, Paul de Casteljau bei Citroën). Im Folgenden wird ein kurzer Einblick in diese Kurven, die daraus abgeleiteten B-Splinekurven und die NURBS-Kurven gegeben. Bezierkurven Eine Bezierkurve wird durch ein Kontrollpolygon festgelegt. Die Kurve kann mit dem Algorithmus von de Casteljau erzeugt werden, der in Fig. A.19 für drei bzw. vier Kontrollpunkte dargestellt ist. Algorithmus von de Casteljau Wähle eine Zahl u aus dem Intervall [0,1]. Schritt 1: Teile die Strecken B k B k + 1 im Verhältnis u : (1 – u). Dies ergibt C k . Schritt 2: Teile die Strecken C k C k+1 im selben Verhältnis. Dies ergibt D k . Schritt 3: usw. Der Algorithmus bricht ab, wenn nur mehr ein Punkt P übrig ist. Die Bezierkurve ist die Menge aller Punkte P, wenn die Zahl u von 0 nach 1 läuft. B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 D 1 B 4 D 2 C 3 E =P 1 k 1 0 u Fig. A.19 B 3 B 1 D =P 1 k C 1 C 2 B 2 1 0 u  Fig A.19 Def  Eine Bezierkurve mit zwei Kontrollpunkten ist eine Strecke. Es lässt sich zeigen, dass eine Bezierkurve mit drei Kontrollpunkten stets ein Parabelbogen ist. Ab vier Kontrollpunkten ist die Formenvielfalt beeindruckend. Eine Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe der Vektorrechnung recht einfach herleiten. Du musst dazu nur Strecken teilen können: Wenn du eine Strecke AB durch einen Punkt T im Verhältnis u:(1 − u) mit 0 ≤ u ≤ 1 teilen möchtest, so ist der Vektor AT = u · AB. Aus T = A + AT folgt: T = (1 –u) · A + u · B  Für eine Bezierkurve mit vier Kontrollpunkten ergibt der Algorithmus von de Casteljau: Schritt 1: C 1 = (1 − u) · B 1 + u · B 2   , C 2 = (1 − u) · B 2 + u · B 3   , C 3 = (1 − u) · B 3 + u · B 4 Schritt 2: D 1 = (1 − u) · C 1 + u · C 2   , D 2 = (1 − u) · C 2 + u · C 3 Schritt 3: P = (1 − u) · D 1 + u · D 2 Setzt man nun in Schritt 3 für D 1 , D 2 die Terme aus Schritt 2 ein und dann für C 1 , C 2 , C 3 die Terme aus Schritt 1, so ergibt sich nach einiger Rechnung die folgende Parameterdarstellung der Bezierkurve: P = (1 − u) 3 · B 1 + 3 · (1 − u) 2 · u · B 2 + 3 · (1 − u) · u 2 · B 3 + u 3 · B 4 Bei vier Kontrollpunkten treten also Polynome vom Grad 3 auf; wir sprechen daher von einer Bezierkurve 3. Grades oder einer kubischen Bezierkurve. Bei einer Bezierkurve mit n Kontrollpunkten treten Polynome vom Grad n − 1 auf. Der Grad einer Bezierkurve ist die um 1 verminderte Anzahl ihrer Kontrollpunkte. Def  142 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv