Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Kurven Unter einer Kurve kannst du dir eine „eindimensionale Punktmenge“ vorstellen, die auch aus mehreren Teilen bestehen kann ( Fig. A.16). Liegen alle Punkte der Kurve in einer Ebene, so sprechen wir von einer ebenen Kurve ; ist dies nicht der Fall, liegt eine Raumkurve vor. Die mathematische Beschreibung einer ebenen Kurve kann durch eine Gleichung der Gestalt F(x,y) = c erfolgen; die Kurve besteht dann aus allen Punkten P(x|y), die diese Gleichung erfüllen. So wird der Kreis in Fig. A.16 durch die Gleichung x 2 + y 2 = r 2 erfasst, wie der Satz von Pythagoras lehrt. Die zweite Kurve wird durch die Gleichung x · y = 1 beschrieben, die dritte Kurve durch die Gleichung x 2 · (1 − x 2 ) − y 2 = 0. Das Arbeiten mit Gleichungen kann recht umständlich sein. Außerdem ist die Kurvendarstellung durch Gleichungen auf ebene Kurven beschränkt, da durch eine Gleichung in drei Variablen eine Fläche erfasst wird (zB eine Ebene, wenn die Gleichung linear ist). Gleichungen haben daher für das Arbeiten mit Kurven nur eine untergeordnete Bedeutung. Wesentlich wichtiger und flexibler sind Parameterdarstellungen . Sie sind für ebene Kurven und für Raumkurven in gleicher Weise möglich. Jeder Kurvenpunkt P(x|y) bzw. P(x|y|z) wird in Abhängigkeit von einer Hilfsvariablen u angegeben, die ein Intervall a ≤ u ≤ b durchläuft und Parameter genannt wird: P = (x(u)|y(u)|z(u)) oder x = x(u), y = y(u), z = z(u) Der Kreis in Fig. A.16 kann durch x = r · cos u, y = r · sin u erfasst werden, wobei die Parameterwerte u das Intervall 0 ≤ u < 2 π durchlaufen; dies geht unmittelbar aus der Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis hervor. Die zweite Kurve kann durch x = u, y = 1/u mit u > 0 bzw. u < 0 beschrieben werden. Auch x = 2/u 3 , y = u 3 /2 wäre für diese Kurve möglich; die Parameterdarstellung einer Kurve ist nicht eindeutig. Die dritte Kurve kann durch x = sin u, y = 0,5 · sin (2u) mit 0 ≤ u < 2 π erfasst werden, wie du durch Einsetzen in die oben genannte Gleichung bestätigen kannst. Die vierte Kurve (Bezierkurve mit dem Kontrollpolygon B 1 B 2 B 3 B 4 ) ist einem Würfel mit der Kantenlänge 1 eingeschrieben. Sie wird durch x = 1 − 3u 2 + 2u 3 , y = 3u − 3u 2 , z = u 3 mit 0 ≤ u ≤ 1 dargestellt. Mehr über Bezierkurven und ihre Parameterdarstellungen erfährst du im nächsten Abschnitt. x y P r y x u y x x y x y z B 1 B 2 B 3 B 4  Fig A.16 Um für die vierte Kurve in Fig. A.16 die Tangenten in den Endpunkten B 1 und B 4 zu ermitteln, differenzieren wir die Koordinatenfunktionen x = 1 − 3u 2 + 2u 3 , y = 3u − 3u 2 , z = u 3 und setzen die Werte u = 0 und u = 1 in die Ableitungen x .  = −6u + 6u 2 , y . = 3 − 6u, z .  = 3u 2 ein. Wir erhalten (0|3|0) und (0|−3|3), woraus wir erkennen, dass B 1 B 2 und B 4 B 3 die Tangenten in B 1 und B 4 sind. Def  Def  Tangenten Mit Hilfe der Differentialrechnung können wir Tangenten berechnen: Die Tangente t der Kurve k im Punkt P(x|y|z) ist die Grenzlage der Sekante s = PQ, wenn Q auf k zu P rückt ( Fig. A.17). Der Richtungsvektor von s ist PQ = (x Q − x|y Q − y|z Q − z). Wenn wir diesen Vektor durch die Differenz u Q − u der Parameterwerte von Q und P dividieren (seine Richtung bleibt dabei erhalten), so ist jede Koordinate dieses neuen Richtungsvektors ein Differenzenquotient und strebt für u Q → u gegen den Differentialquotienten. Wir erhalten also einen Richtungsvektor r der Tangente t durch Differenzieren der Koordinatenfunktionen: r = (x .   (u) | y . (u) | z .   (u)) Fig. A.17 k P Q s t r  Fig A.17 Def  141 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv