Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

A Begriffe der Geometrie Jedes platonische Polyeder hat eine Umkugel und eine Inkugel. Verbindet man den Mittelpunkt M mit den Halbierungspunkten der Kanten und dreht die Trägergeraden der Kanten um diese Drehachsen um 90°, so erhält man wieder ein platonisches Polyeder (erstes und zweites Bild in Fig. A.11). Aus einem Dodekaeder entsteht ein Ikosaeder (und umgekehrt), aus einem Hexaeder entsteht ein Oktaeder (und umgekehrt), aus einem Tetraeder entsteht wieder ein Tetraeder. Im dritten Bild sind das Dodekaeder (grün) und das Ikosaeder (blau) gemeinsam zu sehen. Das vierte Bild zeigt den Booleschen Schnitt der von den Polyedern begrenzten Körper. Dieser Körper kann auch durch Eckenabschneiden hergestellt werden: Aus dem grünen Dodekaeder werden die im dritten Bild zu sehenden dreiseitigen Eckenpyramiden weggeschnitten. Man kann das auch umgekehrt sehen: Aus dem blauen Ikosaeder werden die im dritten Bild zu sehenden fünfseitigen Eckenpyramiden weggeschnitten. Die Begrenzungsflächen des Körpers bilden ein Polyeder, das aus regelmäßigen Fünfecken und gleichseitigen Dreiecken besteht. Es ist „weniger regelmäßig“ als ein platonisches Polyeder und ist eines der archimedischen Polyeder. M M  Fig A.11 Archimedische Polyeder Im Gegensatz zu den platonischen Polyedern sind bei den archimedischen Polyedern auch verschiedene regel­ mäßige Vielecke erlaubt. Sie wurden erstmals von Archimedes (285 – 212 v. Chr.) untersucht. Die exakte Definition der archimedischen Polyeder ist nicht ganz einfach: Alle Flächen müssen regelmäßige Vielecke sein. Der begrenzte Körper muss konvex sein. Außerdem müssen alle Ecken „vertauschbar“ sein; das bedeutet, dass jede Ecke in jede andere Ecke durch Kongruenztransformationen (Schiebung, Drehung, Spiegelung) so übergeführt werden kann, dass das neue und das alte Polyeder identisch sind. Daraus folgt, dass durch jede Ecke gleich viele Kanten gehen. Ferner lässt sich zeigen, dass jedes archimedische Polyeder eine Umkugel hat, in der Regel aber keine Inkugel (im Gegensatz zu den platonischen Polyedern). Es gibt 13 archimedische Polyeder, wenn man die platonischen Polyeder (die natürlich auch archimedische Polyeder sind) und Sonderformen (spezielle Prismen und Antiprismen) nicht mitrechnet. In Fig. A.12 sind fünf archimedische Polyeder zu sehen. Das erste Polyeder kann aus einem Oktaeder durch Eckenabschneiden hergestellt werden, wobei die Kanten im Verhältnis 1 : 1 : 1 zu teilen sind. Das zweite Polyeder kann analog aus einem Würfel hergestellt werden, wobei die Kanten im Verhältnis 1 : √2  : 1 zu teilen sind. Das dritte Polyeder lässt sich durch Eckenabschneiden aus einem Oktaeder oder einem Würfel erzeugen, wobei die Kanten jeweils zu halbieren sind. Weitere archimedische Polyeder lassen sich analog aus den anderen platonischen Polyedern erzeugen (vgl. Fig. A.11). Das vierte Polyeder kann so aber nicht hergestellt werden. Kannst du das begründen? Das fünfte Polyeder hat (im Gegensatz zu den vier vorhergehenden Polyedern) keine Symmetrieebene; es gibt nur zwei derartige archimedische Polyeder. Fig. A.12  Fig A.12 Recherchiere alle 13 archimedischen Polyeder im Internet und überlege, welche sich aus platonischen Polyedern durch Eckenabschneiden konstruieren lassen. Du solltest auf die Zahl 7 kommen. Def  Def  139 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv