Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Begriffe der Geometrie A Das Ikosaeder sieht zwar kompliziert aus, lässt sich aber mit Hilfe des Goldenen Schnitts recht einfach kon­ struieren: Man benötigt drei kongruente Rechtecke, deren Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, also a : b = 2 : ( √5 − 1). Legt man sie so in die Koordinatenebenen wie in Fig. A.9, dann sind ihre Eckpunkte die Ecken eines Ikosaeders. Den Nachweis kannst du mittels Vektorrechnung führen; du brauchst nur nachzurechnen, dass die Schenkel des gefärbten Dreiecks die gleiche Länge wie die kürzeren Rechteckseiten haben. Das Dodekaeder kann analog zum Ikosaeder konstruiert werden: Legt man drei kongruente Rechtecke mit dem Seitenverhältnis a : b = 4 : ( √5 − 1) 2 so in die Koordinatenebenen wie in Fig. A.10, dann sind ihre Eckpunkte auch Ecken eines regelmäßigen Dodekaeders. Platonische Polyeder Analog zu den regelmäßigen Vielecken in der Ebene gibt es regelmäßige Polyeder im Raum. Den höchsten Grad an Regelmäßigkeit weisen die platonischen Polyeder auf ( Fig. A.7). Sie bestehen aus zueinander kongruenten regelmäßigen Vielecken, wobei von jeder Ecke gleich viele Kanten ausgehen; außerdem müssen die von ihnen begrenzten Körper konvex sein. Diese Polyeder wurden bereits von Platon (427 – 347 v. Chr.) untersucht. Da von jeder Ecke eines platonischen Polyeders mindestens drei Kanten ausgehen, der Eckenwinkel in einem regelmäßigen n-Eck (n−2)/n  ⋅  180° beträgt und die Summe der Eckenwinkel in jeder Ecke kleiner als 360° sein muss, kommen nur die n-Werte 3, 4, 5 in Frage: Für n = 3 können in jeder Ecke 3, 4 oder 5 gleichseitige Dreiecke zusam- menstoßen; für n = 4 sind 3 Quadrate und für n = 5 sind 3 regelmäßige Fünfecke möglich. Somit ist bewiesen, dass es höchstens fünf platonische Polyeder geben kann. Es lässt sich zeigen, dass es tatsächlich fünf derartige Polyeder gibt: Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, Hexaeder, Dodekaeder. Die Vorsilbe gibt die Anzahl der Flächen an: 4, 8, 20, 6, 12. Fig. A.7  Fig A.7 Das Tetraeder und das Oktaeder lassen sich sehr einfach konstruieren ( Fig. A.8). Für ein Tetraeder kannst du gegenüberliegende Flächendiagonalen eines Würfels auswählen und alle gleichseitigen Dreiecke zeichnen, die einen Endpunkt mit der anderen Diagonalen verbinden. Bei einem Oktaeder sind die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Ecken gleich lang und paarweise orthogonal (wie Koordinatenachsen). Fig. A.8  Fig A.8 x y z Fig. A.9  Fig A.9 y x z  Fig A.10 Def  138 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv