Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Polygone und Polyeder Unter einem Polygon verstehen wir einen Streckenzug, der in einer Ebene verläuft, geschlossen ist und sich nicht selbst schneidet. Das von einem Polygon begrenzte Gebiet ist ein Vieleck . Das erste Vieleck in Fig. A.4 ist konvex , da es mit je zwei Punkten stets auch alle Punkte der Verbindungsstrecke enthält. Das zweite Vieleck ist nicht konvex . Gelegentlich werden auch beliebige Streckenzüge, die nicht geschlossen sind oder nicht in einer Ebene verlaufen, als Polygone bezeichnet (siehe Abschnitt über Freiformkurven). Ein Polyeder ist gewissermaßen das dreidimensionale Analogon zu einem Polygon. Es besteht aus Vielecken und begrenzt einen Körper . Auch hier unterscheidet man zwischen konvex und nicht konvex ; die Definition ist analog zu Vielecken. Der erste Körper in Fig. A.5 ist konvex, der zweite und dritte Körper sind nicht konvex. Ein Polyeder hat Ecken, Kanten und Flächen. Jede Kante gehört zu genau zwei Flächen, jede Ecke gehört zu min- destens drei Kanten und drei Flächen. Beim regelmäßigen Fünfeck gibt es eine interessante Beziehung zwischen den Seiten und den Diagonalen ( Fig. A.6, rechts). Aufgrund der Symmetrie ist jede Diagonale parallel zu einer Seite. Aus der Ähnlichkeit der gefärbten Dreiecke folgt EC:AB = SC:SA . Da aber die Diagonalen EC und AC gleich lang sind und die Seite AB so lang wie SC ist, folgt AC:SC = SC:SA . Bezeichnet man die Diagonalenlänge mit d und die Seitenlänge mit s, so gilt also d:s = s:(d − s) Fig. A.6 A B M C D E 72° 108° A B C D E S s d  Fig A.6 Ist ein Körper konvex, so gilt für das ihn begrenzende Polyeder eine Formel, die nach Leonhard Euler (1707 – 1783) benannt ist. Für die Eckenanzahl e, die Kantenanzahl k und die Flächenanzahl f gilt stets e – k + f = 2. Die Eulersche Formel ist nicht einfach zu beweisen. Sie gilt auch für viele nicht konvexe Polyeder, aber nicht für alle. Überprüfe, ob sie für das mittlere und rechte Polyeder in Fig. A.5 gilt. Regelmäßige Vielecke Ein regelmäßiges Vieleck ist konvex, hat gleich lange Seiten und gleich große Eckenwinkel. Die Eckpunkte liegen auf einem Kreis ( Fig. A.6, links). Jede Gerade, die den Mittelpunkt M mit einem Eckpunkt verbindet, ist eine Symmetrieachse des Vielecks. Manche regelmäßigen Vielecke können mit Zirkel und Lineal theoretisch exakt konstruiert werden (zB Fünfeck, Sechseck), für andere gibt es keine derartige Konstruktion (zB Siebeneck). Die Frage nach der Konstruierbarkeit regelmäßiger Vielecke mit Zirkel und Lineal wurde von Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) umfassend beantwortet. Zum praktischen Zeichnen eines regelmäßigen Vielecks kannst du den Zentriwinkel z = 360°/n bzw. den Ecken­ winkel ε = 180° − z = (n−2)/n  ⋅  180° berechnen, wobei n die Anzahl der Ecken bzw. Seiten ist. A Begriffe der Geometrie  Fig A.5 Fig. A.4  Fig A.4 Diese Proportion entspricht der Definition des Goldenen Schnitts , auch proportio divina (göttliche Proportion) genannt: Eine Strecke wird so geteilt, dass sich die gesamte Strecke zur längeren Teilstrecke so verhält wie die längere zur kürzeren Teilstrecke. Mit ein wenig Geschick sollte es dir gelingen, das Verhältnis von d und s zu berechnen: d : s = 2 : ( √5 − 1). Dieses Verhältnis wird als besonders harmonisch empfunden und tritt in der Kunst und Architektur, aber auch in der Natur immer wieder auf. Eine Recherche im Internet wird dich staunen lassen! Def  Def  Def  Def  137 Nur zu Prüfzw cken – Ei entum des Verlags öbv