Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

In diesem Kapitel werden Begriffe definiert, Eigenschaften von Objekten untersucht und Beziehungen zwischen ihnen erörtert. Aussagen sind erst gültig, wenn sie bewiesen werden. Bloßes Überprüfen, selbst an zahllosen Beispielen, erhärtet zwar die Vermutung, beweist sie aber nicht. Einem vorgefertigten Beweis folgen zu können, ist befriedigend. Noch viel befriedigender ist, selbst einen Beweis zu finden. Man muss aber auch akzeptieren, dass man nicht jeden Beweis verstehen bzw. selbst führen kann. Koordinaten Die Polarkoordinaten der Ebene lassen sich noch auf eine weitere Art zu räumlichen Koordinaten erweitern ( Fig. A.3). Bei den Kugelkoordinaten wird jeder Punkt P(r, j , q ) durch den Abstand r vom Ursprung O und die beiden orientierten Winkel j (−180° < j ≤ 180°) und q (−90° ≤ q ≤ 90°) festgelegt. Die Bezeichnung der Koordinaten ist naheliegend, da alle Punkte mit derselben Koordinate r auf einer Kugelfläche liegen. Wird zusätzlich die Koordinate j auf einen fixen Wert gesetzt und nur q variabel gehalten, so liegen alle Punkte auf einem Meridian. Wird umgekehrt q auf einen fixen Wert gesetzt und nur j variabel gehalten, so liegen alle Punkte auf einem Breitenkreis. Begründe die angegebene Umrechnung von Kugelkoordinaten auf kartesische Koordinaten. x = r · cos j · cos q ,  y = r · sin j · cos q ,  z = r · sin q Begriffe der Geometrie A Mit kartesischen Koordinaten bist du aus dem Mathematikunterricht vertraut ( Fig. A.1): Wählt man drei paarweise orthogonale orientierte Geraden x, y, z als Koordinatenachsen , so kann jeder Punkt durch drei Zahlen erfasst werden: P(x|y|z). Die Beträge dieser Koordinaten sind die Kantenlängen des Koordinaten­ quaders von P; sie sind auch die Abstände von P zu den Koordinatenebenen yz, zx und xy. Ein Koordinatenweg führt vom Ursprung zum Punkt P und besteht aus drei Kanten des Koordinatenquaders. Von den sechs Koordinatenwegen von P sind zwei dargestellt (x–y–z und z–y–x). x y z P x y z x z y Fig. A.1  Fig A.1 P r j x y z O z | P P j x y z O z x y r | P  Fig A.2 Fig. A.3 q j r P O x y z q j P O x y z z r x y  Fig A.3 In der Trigonometrie hast du Polarkoordinaten kennengelernt. Fügt man zu den (ebenen) Polarkoordinaten die kartesische z-Koordinate als dritte Dimension hinzu, so erhält man Zylinderkoordinaten ( Fig. A.2). Jeder Punkt P(r, j ,z) wird so durch die Polarkoordinaten r und j seines Grundrisses P ' und seine z-Koordinate festgelegt. Die Bezeichnung der Koordinaten ist naheliegend, da alle Punkte mit derselben Koordinate r auf einer Drehzylinder- fläche liegen. Wird zusätzlich die Koordinate j auf einen fixen Wert gesetzt und nur z variabel gehalten, so liegen alle Punkte auf einer Erzeugenden. Wird umgekehrt z auf einen fixen Wert gesetzt und nur j variabel gehalten, so liegen alle Punkte auf einem Kreis. Begründe die angegebene Umrechnung von Zylinderkoordinaten auf kartesische Koordinaten. x = r · cos j ,  y = r · sin j ,  z = z Def  Def  Def  136 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv