Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

6 Raumgeometrisches Konstruieren im CAD Erdkugel Die Erde hat ungefähr die Form einer Kugel. Unregelmäßigkeiten der Erdoberfläche (wie der Großglockner) und die inhomogene Dichte im Erdinneren, die über die Schwerkraft die Form der Erde ein wenig beeinflusst, können vernachlässigt werden. Eine größere Abweichung wird durch die Drehung um die Erdachse verursacht. Die Flieh- kraft bewirkt eine Abplattung, der Abstand von Nord- und Südpol ist um etwa 43 km kleiner als der Äquator­ durchmesser. Mit sehr guter Näherung kann die Erdoberfläche als Drehellipsoid aufgefasst werden, das durch Drehen einer Ellipse mit den Halbachsenlängen a = 6 378 163 m und b = 6 356 777 m um die Nebenachse entsteht (Geodätisches Weltsystem, 1961). Da aber a nur um rund 0,34% größer als b ist, weicht dieses Drehellipsoid kaum von einer Kugelfläche ab. Im Folgenden wird die Erde daher als Kugel mit dem Radius 6370 km aufgefasst. Geografische Koordinaten Ausgehend vom Äquator (er trennt die nördliche von der südlichen Halbkugel) und der Erdachse (sie verbindet den Nordpol mit dem Südpol ) lässt sich jeder Punkt P der Erdoberfläche durch seine Länge l (–180° < l ≤ + 180°) und seine Breite b (– 90° ≤ b ≤ + 90°) erfassen ( Fig. 6.48). Diese geografischen Koordinaten stimmen mit den in Kap. A definierten Kugelkoordinaten überein. Der Ursprung O ist der Schnittpunkt des Äquators mit dem Null­ meridian (Halbkreis vom Nordpol N über Greenwich zum Südpol S). Das Vorzeichen + der Länge l kennzeichnet die östliche Halbkugel; statt + und – sind die Ausdrücke östliche Länge (öL) und westliche Länge (wL) üblich. Das Vorzeichen + der Breite b kennzeichnet die nördliche Halbkugel; statt + und – sind die Ausdrücke nördliche Breite (nB) und südliche Breite (sB) üblich. Beschreibe anhand von Fig. 6.48, wo die Winkel l und b noch gemessen werden können. Himmelsrichtungen Die Richtung von einem Punkt P der Erdoberfläche zum Erdmittelpunkt M ist lotrecht, die zu MP normale Tangentialebene t in P ist waagrecht ( Fig. 6.49). Wenn du dich in P befindest, entspricht t dem Boden im Klassenzimmer; der Höhenunterschied zwischen den einzelnen Stock- werken ist zu vernachlässigen. Die NordSüdRichtung in P wird durch die Meridiantangente festgelegt, die OstWestRichtung durch die dazu normale Breitenkreistangente. Eine Himmelsrichtung in P (waagrechte Richtung) kann etwa durch die Abweichung a von der Nordrichtung festgelegt werden (etwa N40°O). P M N S O a t Fig. 6.49  Fig 6.49 Das gerenderte Bild in Fig. 6.50 zeigt die Tangentialebene von Moskau (37,7° öL, 55,8° nB) samt der Himmelsrichtung S50°W. Die Nord-Süd- Richtung und die Ost-West-Richtung kann man als Tangenten des Meridians und des Breiten- kreises konstruieren. Eleganter ist die Lösung mit einem geeignet platzierten BKS: Ursprung in Moskau, x-Achse durch den Erdmittelpunkt M, xy-Ebene durch den Nordpol N. Die y-Achse verläuft dann in Richtung Norden, die z-Achse in Richtung Osten. Fig. 6.50 P M N x y z  Fig 6.50 Alle Punkte gleicher Länge l liegen auf einem Meridian (von der Erdachse NS begrenzter Halbkreis), alle Punkte gleicher Breite b liegen auf einem Breitenkreis (normal zu NS). Die Meridiane und die Breitenkreise sind die Koordinatenlinien der geo­ grafischen Koordinaten. In Fig. 6.48 sind sie in Abständen von 15° ein­ gezeichnet. Fig. 6.48 b l P M N S O  Fig 6.48 Def  Def  Def  128 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv