Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Raumgeometrisches Konstruieren im CAD 6 M A s t a b a b A M t s B a b r r  Fig 6.42 Wenn statt der Ebene a eine beliebige Fläche und statt der Geraden b eine beliebige Kurve verwendet werden, so benötigt man statt der parallelen Ebene eine Parallelfläche von a (Abstand r) und statt der Drehzylinderfläche eine Rohrfläche (Radius r) mit der Mittenkurve b. Du kennst diese Flächen bereits aus Kap. 3. • Trägt man von jedem Punkt A einer Fläche a einen fixen Abstand r auf der Flächennormalen n auf, so erhält man eine Parallelfläche ( Fig. 6.43). Die Tangentialebene im Punkt P ist normal zu n, also parallel zur Tangential­ ebene in A. • Bewegt man einen Kreis k so, dass sein Mittelpunkt B auf einer Kurve b wandert und die Kreisebene immer normal zur Tangente von b in B ist, so überstreicht der Kreis eine Rohrfläche ( Fig. 6.44). In jedem Punkt P von k ist die Tangentialebene normal zu BP. Die Flächennormale n trifft also die Mittenkurve b unter einem rechten Winkel. In Fig. 6.42 wird eine Kugel mit gegebenem Radius r so auf eine Ebene a gelegt, dass sie auch eine Gerade b berührt. Der Mittelpunkt M muss in einer zu a parallelen Ebene (Abstand r) und auf einer Drehzylinderfläche mit der Achse b (Radius r) liegen; er kann also auf der Schnittkurve s der beiden Flächen beliebig gewählt werden. Du hast sicher bereits erkannt, dass die Schnittkurve s eine Ellipse ist. Die Berührpunkte A und B der Kugel mit a und b sind die Fußpunkte der von M auf a und b errichteten Normalen. Die Tangente t von s in M ist die Schnitt- gerade der zu a parallelen Ebene und der Tangentialebene der Drehzylinderfläche in M. Daraus folgt, dass t normal zu MA und zu MB ist. Daher ist t normal zur Ebene MAB. Zusammenfassend gilt: Bewegt man die Kugel so auf der Ebene a , dass sie die Gerade b stets berührt, so bewegt sich der Mittelpunkt M auf einer Ellipse s. Die Ebene MAB ist dabei stets normal zur Tangente t von s in M. Platzieren von Kugeln In diesem Abschnitt geht es um das Platzieren von Kugeln mit vor­ gegebenen Radien, die berührend an Linien bzw. Flächen gelegt werden. Je nach Vorgabe der berührenden Linien bzw. Flächen und des Kugel­ radius kann es keine, eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen geben. So hat etwa die Aufgabe, eine Kugel mit vorgegebenem Radius berührend an zwei windschiefe Gerade zu legen, unendlich viele Lösungen (wenn der Radius groß genug ist). Bei drei paarweise windschiefen Geraden gibt es bis zu acht Lösungen.  Fig 6.41 Fig. 6.44 P n B b k b B P n k  Fig 6.44 Fig. 6.43 P n A a r  Fig 6.43 L 50 126 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv