Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

6.2 Anwendungen Beim vierten Polyeder in Fig. 6.29 hat jede Fläche auch benachbarte Flächen, die nur in einer Ecke mit ihr zusammenhängen. In Fig. 6.33ab kannst du eine Konstruktion dieses Polyeders nachvollziehen: Lege ein Dreieck in eine waagrechte Ebene und füge drei Fünfecke (gemeinsame Kante) sowie drei Dreiecke (gemeinsame Ecke) an. Die Lücken müssen gleich groß sein. Jedes Fünfeck wird um eine Kante des zentralen Dreiecks nach oben gedreht und jedes Dreieck um eine Ecke, wobei die Drehachse normal zu einer Symmetrieachse des zentralen Dreiecks ist. M 1 M 2 Fig. 6.33a Fig. 6.33b M 1 M 2  Fig 6.33a Nachdem du ein Dreieck und ein Fünfeck nach oben gedreht hast, kannst du die im ersten Bild von Fig. 6.33b zu sehende Schale durch Rotation der beiden Flächen um die lotrechte Achse des zentralen Dreiecks herstellen. Mit analogen Rotationen um die Achsen bereits platzierter Flächen kannst du das gesamte Polyeder schrittweise erzeugen. Wenn deine Software die Dreipunktdrehung anbietet und Mittelpunkte von Flächen snappen kann, ist der Aufwand für die Konstruktion überschaubar. Mit dieser Methode lassen sich die meisten archimedischen Polyeder konstruieren, aber nicht alle. Von den platonischen Polyedern entzieht sich nur das Ikosaeder (zweites Polyeder in Fig. 6.29) dieser einfachen Konstruktion. Die Geraden l und l* hängen durch Spiegelungen zusammen: • Spiegelt man einen Punkt P von l an w, so liegt der gespiegelte Punkt P* auf l*. • Spiegelt man P an ε , so liegt der gespiegelte Punkt L* auf l*. Spiegelt man P* an ε , so liegt der gespiegelte Punkt L auf l. Das gerenderte Bild in Fig. 6.35 zeigt einen Spiegel in einer Diagonalebene eines Quaders. Um zu beurteilen, ob B zu sehen ist, wenn man von A auf den Spiegel blickt, muss ein von B ausgehender Lichtstrahl konstruiert werden, der nach A reflektiert wird. Beschreibe die im Screenshot zu sehende Konstruktion des reflektierten Lichtstrahls l*. Da der Schnittpunkt S von l* mit der Spiegelebene innerhalb des Spiegels liegt, ist B von A aus im Spiegel zu sehen. M 1 M 2 Fig. 6.33a Fig. 6.33b M 1 M 2 Fig. 6.34 l l* S P P* L* w e L l l* S w e s n Fig. 6.35 B A l* S L* A B  Fig 6.33b  Fig 6.34  Fig 6.35 Reflexion Bei der Reflexion eines Lichtstrahls an einem ebenen Spiegel liegen der einfallende Lichtstrahl l und der ausfallende Lichtstrahl l* in einer Normalebene n der Spiegelebene ε ( Fig. 6.34). Sie schließen mit der Schnitt­ geraden s von ε und n gleich große Winkel ein. Die Winkelsymmetrale w von l und l* ist normal zu ε . Def  k 123 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv