Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

6.1 Grundlagen Hinweise: 1 Konstruiere die Treffnormale AB wie in Fig. 6.13. Der Screenshot zeigt die Konstruktion. 2 Kontrolliere, ob AB mit PQ und RS jeweils einen rechten Winkel einschließt. Kontrolle: AB = 7,5378. Fig. 6.14 Q S R P n* A B  Fig 6.14 Abstandskonstruktionen Alle Abstandsmessungen werden auf den Abstand zweier Punkte zurückgeführt. Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt nur mit den Abständen eines Punktes von einer Geraden, eines Punktes von einer Ebene und einer Geraden von einer Geraden. Sie sind in Fig. 6.12 dargestellt. • Abstand Punkt – Gerade: Der Abstand d eines Punktes A von einer Geraden b wird auf der Normalen n gemessen, die man von A auf b errichten kann. • Abstand Punkt – Ebene: Der Abstand d eines Punktes A von einer Ebene b wird auf der Normalen n gemessen, die man von A auf b errichten kann. • Abstand Gerade – Gerade: Der Abstand d zweier windschiefer Geraden a und b wird auf der Geraden n gemes- sen, die a und b rechtwinklig schneidet; man nennt sie die Treffnormale von a und b. Der Abstand zweier Objekte wird in der Regel als kürzester Abstand definiert, den ein Punkt des ersten Objekts von einem Punkt des zweiten Objekts haben kann. Diese Definition steht im Einklang mit den oben beschrie­ benen Normalabständen. Wie du in Fig. 6.12 erkennst, ist der Normalabstand des Punktes A von der Geraden b auch der kürzeste Abstand, den ein auf b liegender Punkt X vom Punkt A haben kann. Auch für den Normal­ abstand des Punktes A von der Ebene b trifft dies offensichtlich zu. Fig. 6.12 b nA B d X A B n b d X A B a b n X Y d P  Fig 6.12 Dass auch bei windschiefen Geraden a und b der Normalabstand zugleich der kürzeste Abstand ist, kannst du in Fig. 6.12 (rechts) nachvollziehen: Verschiebe AB durch den Punkt X. Da XP normal zu BP und zu BY ist, ist XP normal zur Ebene PBY. Daher ist das Dreieck XPY rechtwinklig. Also ist XY länger als AB. Beispiel 6.5 Gegeben sind zwei Strecken PQ [P(10|0|5), Q(0|5|10)] und RS [R(0|10|0), S(10|10|10)]. Konstruiere die Treffnormale der beiden Strecken und miss ihren Abstand. Du darfst das Abstandswerkzeug deiner Software nur zur Kontrolle verwenden. Abstandsaufgaben lassen sich im CAD „auf Knopfdruck“ lösen. Du sollst dich aber nicht darauf beschränken, nur das entsprechende Werkzeug zu suchen, sondern die Aufgaben mit elementaren Konstruktionen lösen. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden bzw. einer Ebene ist sehr einfach zu konstruieren; nur der Abstand zweier windschiefer Geraden ist komplizierter. Fig. 6.13 zeigt eine Möglichkeit zum Konstruieren der Treffnormalen AB von zwei windschiefen Geraden a und b: Zuerst wird eine zu b parallele Gerade b* durch einen beliebigen Punkt von a gezeichnet. Die zur Ebene ab* normale Gerade n* ist parallel zur Treffnormalen n. Dann ist nur noch der Schnittpunkt B von b mit der Ebene an* zu ermitteln. n* a b b* B A n Fig. 6.13  Fig 6.13 Def  115 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des V rlags öbv