Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

6.1 Grundlagen 3 Zeichne die von P ausgehenden Strecken PA, PB, PC. Platziere ein BKS (wie im rechts zu sehenden Screenshot) und ziehe den Würfel auf. Kontrolle: P(6,1111|6,2222|4,0200) Normale und Normalebenen Beim raumgeometrischen Konstruieren benötigst du immer wieder Normale und Normalebenen. Die folgenden in  Fig. 6.4 illustrierten Aussagen sollen dir helfen, mit der Orthogonalität sicher umzugehen. Beispiel 6.1 Gegeben ist ein in der xy-Ebene liegendes Dreieck ABC [A(10|0|0), B(8|10|0), C(0|5|0)]. Der Eckpunkt P eines Würfels (Kantenlänge 10) liegt oberhalb der xy-Ebene. Die von P ausgehenden Würfelkanten gehen durch die Punkte A, B, C. Konstruiere den Würfel. Hinweise: 1 Vom Punkt P aus erscheinen die Strecken AB, BC, CA jeweils unter einem rechtem Winkel. Nach dem Satz von Thales liegt P auf drei Halbkugelflächen mit den Durchmessern AB, BC, CA. 2 Zeichne die Halbkugelflächen und schneide sie. Die Schnittlinien sind Halbkreise. Fig. 6.3a | A | B | C | P | R | S | Q | x | y Fig. 6.3b A P C B A P C B P A B C  Fig 6.3a Fig. 6.3a | A | B | C | P | R | S | x | y Fig. 6.3b A B C P A P C B A P C B P A B C  Fig 6.3b • Wenn eine Gerade g normal zu einer Ebene ε ist, dann ist g normal zu allen in ε liegenden Geraden (schneidend normal oder windschief normal). • Wenn eine Gerade g normal zu zwei schneidenden Geraden ist, dann ist g normal zur Verbindungs­ ebene ε dieser Geraden. • Wenn eine Ebene n eine Gerade g enthält, die normal zu einer Ebene ε ist, dann ist n normal zu ε . S g e n e g Fig. 6.4  Fig 6.4 Zeichnen von Normalen und Normalebenen • Um eine Normale g einer Ebene ε durch einen Punkt P zu zeichnen, kannst du ein BKS auf ε legen und g parallel zur z-Achse aufziehen. • Um eine Normalebene ε einer Geraden g durch einen Punkt P zu zeichnen, kannst du ein BKS mit der x-Achse auf g legen (sonst beliebig) und eine in  ε liegende Fläche parallel zur yz-Ebene des BKS aufziehen. P e g y z x z x y P g e x y z x y z  Fig 6.5 Beim händischen Konstruieren in Grund- und Aufriss können Normale und Normalebenen mit Hilfe des Satzes vom rechten Winkel erfasst werden. Im CAD ist das viel einfacher. Du benötigst nur ein geeignet platziertes Benutzerkoordinatensystem ( Fig. 6.5). k L 71 111 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv