Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

u U t p u p U p t p M p p p t p p U p u p M Fig. 1.19  Fig 1.19 Zum Abschluss werfen wir noch einen genaueren Blick auf die Kontur und den Umriss einer Kugel bei Parallel- und Zentralprojektion. Bei der Parallelprojektion bilden die berührenden projizierenden Geraden eine Drehzylinderfläche ( Fig. 1.19). Die Kontur u trennt die sichtbare von der verdeckten Kugelhälfte und ist ein Kreis, dessen Ebene normal zur Projektionsrichtung p ist. Der Um- riss u p ist die Schnittkurve der Drehzylinderfläche mit der Bildebene p . Bei einer Normalprojektion (hellere Bildebene) ist u p ein Normalschnitt, also ein zu u schiebungsgleicher Kreis. Bei einer schrägen Parallelprojektion (dunklere Bildebene) ist u p ein Schrägschnitt, also eine Ellipse. Einen Beweis kannst du in Kap. A nachvollziehen. Bei der Zentralprojektion bilden die berührenden projizierenden Geraden eine Drehkegelfläche ( Fig. 1.20). Die Kontur u trennt die sichtbare von der verdeckten Kugelkappe und ist ein Kreis, dessen Ebene normal zur Achse OM der Drehkegelfläche ist. Der Umriss u c ist die Schnittkurve der Drehkegelfläche mit der Bildebene p . Wenn p normal zu OM ist, ist u c ein Normalschnitt, also ein zu u paralleler Kreis. Sonst ist u p ein Schrägschnitt, also eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Beweise kannst du wieder in Kap. A nachvollziehen. In Fig. 1.20 ist der Umriss in der lotrechten Bildebene eine Ellipse. Das Bild des Kugelmittelpunktes ist aber nicht der Ellipsenmittelpunkt. Kontur und Umriss einer Kugel • Die Kontur einer Kugel ist bei jeder Projektion ein Kreis. • Bei der Parallelprojektion ist der Umriss einer Kugel eine Ellipse (Schrägriss) oder ein Kreis (Normalriss). • Bei der Zentralprojektion ist der Umriss einer Kugel ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Fig. 1.20 M c M c M O u c u c u p p  Fig 1.20 Es mag verblüffend erscheinen, dass eine Hyperbel, die ja aus zwei Kurventeilen besteht, als Umriss einer Kugel auftreten kann. In Fig. 1.21 ist eine derartige Situation zu sehen. Stelle dir vor, ein Raumschiff befindet sich in der Position O genau über Wien (Punkt W), in einer Höhe von 1000 km. Wenn ein Astronaut ungehindert in jede Richtung blicken könnte, dann würde er den oberhalb der Kontur u liegenden Teil der Erdkugel sehen. Er macht nun ein Foto, wobei er den Fotoapparat nach Norden ausrichtet und ihn so hält, dass die Sensorplatte parallel zur Erdachse MN ist. Das Foto entspricht dem Zentralriss in der Bildebene p . Die Verschwindungsebene p v schneidet die Kontur u. Der vor p v liegende Teil von u wird auf den unteren Teil der Hyperbel projiziert (mit dem Scheitel A c ), der hinter p v liegende Teil von u auf den (unbrauchbaren) oberen Teil. Aufgrund der Einschränkungen beim Fotografieren ist selbst bei einer Weitwinkelaufnahme nur ein recht kurzer Bogen der Umrisshyperbel u c zu sehen. Das Bild in Fig. 1.21 ist natürlich kein Foto; es wurde mit CAD-Software erstellt und entspricht exakt dem beschriebenen Foto. OW M N u p p v A c A B c A c u  Fig 1.21 k 1.3 Konturen und Umrisse L 148 L 148 11 Nur zu Prüfzwecken – Eig n um des Verlags öbv