Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Klassische Flächen im CAD 5 5.8 Hyperbolische Paraboloide Die hyperbolischen Paraboloide (vgl. Kap. 5.5) sind sowohl Schiebflächen als auch Regelflächen; deshalb werden sie in der Architektur besonders gerne verwendet. Die „Höhenschichtlinien“ der Fläche (Schnittkurven mit zur Achse a normalen Ebenen) sind Hyperbeln, deren Asymptoten parallel zu den Scheitelerzeugenden e und f sind ( Fig. 5.68, links). Parallel zu a liegende Ebenen schneiden die Fläche nach Parabeln, deren Achsen parallel zu a sind. Hier gibt es eine wichtige Ausnahme ( Fig. 5.68, Mitte): Wenn die Ebene parallel zur Achse a und auch parallel zur Scheitel­ erzeugenden e ist, so schneidet sie die Fläche nach einer Geraden (Beweis siehe Kap. A). Dies bedeutet, dass ein hyperbolisches Paraboloid auch eine konoidale Regelfläche ist, mit der Verbindungsebene von a und e als Richt­ ebene (vgl. Kap. 5.6). Da es zwei Scheitelerzeugende gibt, liegen auf einem hyperbolischen Paraboloid sogar zwei Scharen von Erzeugenden ( Fig. 5.68, rechts). Sie sind entweder parallel zur Richtebene ae oder parallel zur Richtebene af. Bei einer Projektion in Richtung der Achse a sind die beiden Richtebenen projizierend; daher sind die Risse der Erzeugenden parallel zu den Rissen der Scheitelerzeugenden. Greift man von jeder Schar zwei Erzeugende heraus, so bilden diese ein windschiefes Viereck ABCD, dessen Riss ein Parallelogramm ist. Du erkennst mit Hilfe dieses Risses, dass jede beliebige Erzeugende u die zur anderen Schar gehörenden Viereckseiten im selben Verhältnis teilt. Der innerhalb des Vierecks ABCD liegende Teil der Fläche ist daher eine HPFläche (vgl. Kap. 5.6). In Kap. 5.5 wurde ein hyperbolisches Paraboloid als Schiebfläche defi- niert, bei der die Profilkurve p und die Pfadkurve k zwei Parabeln sind, die in zueinander normalen Ebenen liegen, parallele Achsen haben und nach verschiedenen Seiten geöffnet sind ( Fig. 5.67). Die Fläche hat zwei Symmetrieebenen, deren Schnittgerade a die Achse des Paraboloids ist. Der Schnittpunkt S von a mit der Fläche ist der Scheitel des Paraboloids. Die Tangentialebene t im Scheitel S schneidet aus dem Paraboloid zwei Geraden aus, die man Scheitelerzeugende nennt. Fig. 5.67 k S a p t  Fig 5.67 Fig. 5.68 a S e f a S | e e a S A B C D | A | B | D u | u | S e f | f | e | C  Fig 5.68 Aufgrund dieser „Teilungseigenschaft“ lässt sich der von einem wind- schiefen Viereck ABCD begrenzte Teil eines hyperbolischen Paraboloids ganz einfach konstruieren: Man teilt gegenüber liegende Seiten im selben Verhältnis und verbindet die Teilungspunkte ( Fig. 5.69). Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass für jedes beliebige windschiefe Viereck die mit der „Teilungseigenschaft“ hergestellte Fläche auf einem hyperbolischen Paraboloid liegt. a A B C D  Fig 5.69 L 152 L 100 L 98 k L 96 104 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv