Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

5.7 Einschalige Drehhyperboloide Wenn eine Gerade e um eine Achse a rotiert, so überstreicht sie eine Drehregelfläche . Die rotierende Gerade wird Erzeugende genannt. Wenn die Erzeugende und die Achse parallel sind, entsteht eine Drehzylinderfläche. Wenn die Erzeugende die Achse schneidet, entsteht eine Drehkegelfläche. In diesem Kapitel geht es um Dreh­ regelflächen, bei denen die Erzeugende und die Achse windschief sind ( Fig. 5.59). Da bei einer Drehfläche jede durch die Achse gehende Ebene s eine Symmetrieebene der Fläche ist, liegen auch die an s gespiegelten Erzeugenden auf der Fläche. Auf einer Drehregelfläche liegen also zwei Scharen von Erzeugenden. Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt wird von den beiden durch den Flächenpunkt gehenden Erzeugenden aufgespannt. Sie schneidet (durchsetzt) die Fläche entlang dieser Erzeugenden. Fig. 5.59 s t t e a  Fig 5.59 Wenn ein einschaliges Drehhyperboloid durch den Achsenschnitt (Hyperbel h) festgelegt wird, bieten sich zur Konstruktion von Erzeugenden zwei Möglichkeiten an ( Fig. 5.61): • Errichte im Mittelpunkt M von h eine Normale auf die Trägerebene von h und schneide sie mit dem Kehlkreis k. Die durch den Schnittpunkt A gehenden Erzeugenden sind parallel zu den Asymptoten von h. • Schneide die durch A gehende Normalebene a von MA mit einem Randkreis des Drehhyperboloids und verbinde die Schnittpunkte mit A. Die zweite Methode hat den Vorteil, dass du die Asymptoten von h nicht benötigst. a S M A k h a S M A a k h Fig. 5.61  Fig 5.61 In Kap. A wird bewiesen, dass jeder Achsenschnitt (Schnitt mit einer Symmetrieebene s ) eine Hyperbel ist. Die Fläche kann also auch durch Drehen einer Hyperbel um ihre Nebenachse erzeugt werden. Sie ist daher ein einschaliges Drehhyperboloid (vgl. Kap. 5.3). Umgekehrt lässt sich zeigen, dass jedes einschalige Drehhyperboloid eine Drehregelfläche ist. Das Drehhyperboloid in Fig. 5.60 wird durch Rotation der Hyperbel h um ihre Nebenachse a erzeugt. Die mitrotierenden Asymptoten von h erzeugen den Asymptotenkegel . Der Breitenkreis k durch den Scheitel S von h ist der Kehlkreis . Dreht man den Scheitel S um die Achse a um 90°, so erhält man einen Punkt A auf dem Kehlkreis. Die Tangentialebene in A ist parallel zur Trägerebene der Hyperbel h. Die durch A gehenden Erzeugenden des Drehhyperboloids sind parallel zu den Asymptoten von h. Der Asymptotenkegel kann also auch erzeugt werden, indem man alle Erzeugenden des Drehhyperboloids durch den Mittelpunkt M verschiebt. Fig. 5.60 M A h k a S  Fig 5.60 5.7 Einschalige Drehhyperboloide Def  L 150 L 90 Def  k 101 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv