Raumgeometrie. Konstruieren und Visualisieren [Theoriebuch]

Das Bild u p der Kontur u nennt man den Umriss der krummen Fläche. Beim Kegelstumpf in Fig. 1.15 besteht der Umriss aus zwei Strecken; sie sind die Bilder der beiden Mantellinien mit den projizierenden Tangentialebenen. Beim Torus besteht der Umriss aus den Schnittkurven der beiden projizierenden Zylinderflächen mit der Bild­ ebene. Sie sind übrigens keine Ellipsen, auch wenn das auf den ersten Blick so aussehen mag. Kontur und Umriss • Die Kontur einer Fläche liegt auf der Fläche und besteht aus allen Flächenpunkten, deren Tangentialebenen projizierend sind. • Der Umriss einer Fläche liegt in der Bildebene und ist das Bild der Kontur. Die Kontur trennt in der Regel sichtbare und verdeckte Punkte der krummen Fläche. Du kannst dir ein anschau­ liches Bild von der Kontur machen: Stelle dir vor, ein winziges Lebewesen kriecht über die Fläche und die Schwer- kraft wirkt in Richtung des Projektionspfeils p. Die Kontur u ist die „Warnlinie“; hier ist die Fläche senkrecht und das Lebewesen würde beim Überschreiten abstürzen. Wenn eine Flächenkurve die Kontur schneidet, so wird der Schnittpunkt als Konturpunkt der Flächenkurve bezeichnet. Sein Bild wird Umrisspunkt der Flächenkurve genannt. Fig. 1.16 U p U t p t p k c p k p c u p u p  Fig 1.16 In Fig. 1.16 haben die Flächenkurven k und c einen gemeinsamen Konturpunkt U. Die Tangenten von u, k und c liegen in der projizierenden Tangentialebene t . Die Tangente von k ist nicht projizierend. Die Tangenten von u und k werden auf dieselbe Gerade t p abgebildet. Daher berührt die Bild- kurve k p den Umriss u p im Umrisspunkt U p . Die Tangente von c ist projizierend. Sie wird also nicht auf die Gerade t p , sondern auf den Punkt U p abgebildet. Die Bildkurve c p setzt in U p mit einer  Spitze auf dem Umriss u p auf. Wenn eine Flächenkurve einen Konturpunkt U hat, so gilt: • Die Bildkurve berührt den Umriss im Umrisspunkt U p (allgemeiner Fall). • Die Bildkurve hat eine Spitze im Umrisspunkt U p (Sonderfall). Das Bild eines Objekts hat einen Rand, der in der Umgangssprache auch als Umriss bezeichnet wird. Der Umriss im hier definierten Sinn hat zwar etwas mit dem Rand zu tun, darf aber mit ihm nicht ver­ wechselt werden. In Fig. 1.17 ist das Bild einer krummen Fläche zu sehen. Der Umriss u p ist rot hervorgehoben. Der Rand des Bildes besteht aus Teilen der Bilder der Randkurven und Teilen des Umrisses. Beim Umriss in Fig. 1.17 treten auch zwei Spitzen R p und S p auf. In den dazugehörenden Konturpunkten R und S sind die Tangenten der Kontur u projizierend. Fig. 1.17 p u p R p S  Fig 1.17 In Fig. 1.18 werden Flächen durch Flächenkurven veranschaulicht. Wenn diese Kurven an den Umriss „herankommen“, so berühren sie ihn dort. Der Umriss kann also auch als die einhüllende Kurve der Bilder aller Flächenkurven aufgefasst werden. Fig. 1.18  Fig 1.18 1 Projektionen und Risse k k Def  Def  10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv