Sexl Physik 8, Schulbuch

Das weltweite Satellitennavigationssystem GPS Das Global Positioning System GPS ist ein weltweites Navigationssystem, das vom US-Verteidigungsministerium betrieben wird. Satelliten mit Atomuhren an Bord umkreisen die Erde und senden präzise Zeitsignale sowie Informationen über ihre genauen Bahnen aus. Ein GPS-Empfänger berechnet aus den bekann- ten Satellitenpositionen und den Zeitdifferenzen der empfangenen Signale seine Position auf der Erde. Dafür ist ein gleichzeitiger Empfang der Signale von min- destens drei Satelliten nötig (  30.2 ). Soll auch die Höhe des Empfängers über Meeresniveau bestimmt werden, so ist der gleichzeitige Empfang von min- destens vier Satellitensignalen notwendig. Die Position kann dabei auf etwa 10m genau gemessen werden. Mit aufwändigeren Methoden ist sogar eine zenti- metergenaue Positionsbestimmung möglich. Aufgrund der Geschwindigkeit der Satelliten verlangsamt sich die Zeit nach der Speziellen Relativitätstheorie ( t Satellit / t Erde ≈ 1 − 0,835 · 10 −10 , s. S. 25 unten). Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie (Formel s. S. 28 bzw. 29) vergeht die Zeit zusätzlich auch schneller, da sich die Satelliten in einer Höhe von 26 560 km (bezogen auf den Erdmittelpunkt) befinden. Es ergibt sich t Satellit / t Erde ≈ 1 + 5,289 · 10 −10 . Insgesamt geht die Uhr um 4,45 · 10 −10 zu schnell – pro Stunde Messzeit ergäbe sich eine Abweichung von 500m ! Das tagtägliche Funktionieren der Satellitennavigation bei Millionen von GPS- Geräten zeigt die Richtigkeit der Vorhersagen der Speziellen und der Allgemei- nen Relativitätstheorie.  Untersuche, überlege, forsche: Satellitennavigation 30.1 W 1  Informiere dich über Funktionsweise und Entwicklungsstand des europäi- schen Satellitennavigationssystems Galileo. 30.2 W 1  Welche Unterschiede gibt es zwischen Galileo und GPS? 30.3 W 1  Welche anderen Satellitennavigationssysteme gibt es? 30.4 W 1  Versuche die oben angegebenen Zahlenwerte nachzuvollziehen, indem du dir Informationen über die Geschwindigkeit bzw. Flughöhe der GPS-Satelliten be- sorgst und in die entsprechende Formel einsetzt. 30.5 W 1  Wie lange braucht ein Satellit für einen Umlauf? Wie oft ist er pro Tag über demselben Punkt der Erde? 30.6 W 1  Finde etwas über die mathematischen Grundlagen heraus. Wie sehen die Schnitte von Kugeln aus? Gibt es eine eindeutige Lösung (  30.2 )? 2.3 Maßstäbe im Gravitationsfeld Mit dem Energiesatz konnten wir den Einfluss des Gravitationsfeldes auf den Gang einer Uhr berechnen. Den Einfluss des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe können wir nicht durch ähnliche, einfache Überlegungen bestimmen. (Es soll sich dabei um ideale Maßstäbe handeln, die sich weder durch die Wirkung der Gravitations- kräfte dehnen oder verbiegen, noch durch Temperaturunterschiede beeinflusst werden.) Die Vorhersage dieses Effektes ist vielmehr eines der wichtigsten Ergeb- nisse der Allgemeinen Relativitätstheorie und erfordert großen mathematischen Aufwand. Das Ergebnis der Rechnung lautet: Bringt man einen Maßstab A der Länge L A in die Nähe einer schweren Masse M , so wird er kürzer als ein weit entfernter Vergleichsmaßstab B der Länge L B L A  = L B ·  ​  (  1 – ​  G · M _ c 2 r  ​  )  ​ ( r ist der Abstand des Maßstabes vom Schwerpunkt der Masse.) Die Theorie besagt also, dass ein Maßstab auf einem Berg etwas länger ist als auf Meeresniveau. Wie überprüft man diese Aussage? Bringen wir den höher gelege- nen Maßstab nach unten, so wird auch er kürzer, und der Unterschied verschwin- det. Wir müssen daher einen anderen Weg gehen: 30.1 Satellitenkonstellation des europäischen Satellitennavigationssystems Galileo 30.2 Der GPS-Empfänger bestimmt die Laufzeiten der Signale von mehreren Satelli- ten. Dann berechnet er den Schnittpunkt der dadurch bestimmten Kugelschalen, in deren Mittelpunkten sich die Satelliten befinden. l A l B der Maßstab schrumpft die Uhren gehen langsamer T A T B 30.3 Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt vorher, dass in der Umgebung einer Masse Uhren langsamer gehen und Maßstäbe schrumpfen.  30 Relativitätstheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv