Sexl Physik 8, Schulbuch

Die relativistische kinetische Energie Einstein konnte zeigen, dass der Ausdruck für die Gesamtenergie E eines Körpers gegeben ist durch E =   m 0 c 2 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2 = mc 2 . Diesen Ausdruck kann man in eine Potenzreihe entwickeln:   m 0 c 2 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2    = m 0 c 2 +   1 _ 2 m 0 v 2 +   3 _  8   m 0 v 4 _  c 2  +   15 _  48   m 0 v 6 _  c 4  +   105 _  384   m 0 v 8 _  c 6  +… Wir bemerken, dass der erste Term nicht von der Geschwindigkeit v des Körpers abhängt. Der Körper hat offensichtlich in jedem Fall mindestens die Energie E 0 = m 0 c 2 , ob er sich nun bewegt oder nicht. Diesen Anteil seiner Gesamtenergie nennt man seine Ruheenergie . Alle anderen Terme der Reihenentwicklung hängen von der Geschwindigkeit v des Körpers ab, ihre Summe bezeichnet man daher als die kinetische Energie des Körpers: E k =   m 0 c 2 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2 – m 0 c 2 Die Gesamtenergie eines bewegten Teilchens besteht aus Ruheenergie und kinetischer Energie. E = E 0 + E k = m 0 c 2 + E k = mc 2 Für v j c gilt die Näherungsformel   1 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2 ≈ 1 +   1 _  2   v 2 _ c 2 Es ergibt sich also E k = m 0 c 2   (    1 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2 – 1  )  ≈ m 0 c 2   (  1 +   1 _ 2   v 2 _ c 2 – 1  )  =   1 _ 2 m 0 v 2 Der relativistische Ausdruck für die kinetische Energie geht also für kleine Ge- schwindigkeiten näherungsweise in den Newton’schen Ausdruck über, wie dies ja auch sein muss (  24.1 ). Die kinetische Energie eines Körpers beträgt E k = m 0 c 2   (    1 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2 – 1  )  ≈ (m– m 0 ) c 2 Dieser Ausdruck stimmt für v j c mit dem Newton’schen Ausdruck für die kinetische Energie überein. Nähert sich die Geschwindigkeit des Körpers der Lichtgeschwindigkeit, so steigt die kinetische Energie stark an. Beispielsweise erreicht die Energie der Protonen im Super-Protonensynchrotron des CERN den Wert E k = ( m − m 0 ) c 2 = (427 − 1) m 0 c 2 = 426 · 1,6 · 10 −27 kg (3 · 10 8 m/s) 2 = 6,13 · 10 −8 J ≈ 400 GeV. Dies stimmt mit der zur Beschleunigung aufgewendeten Energie überein. Nach den Vorhersagen der Newton’schen Physik hätten die annähernd mit Lichtgeschwin- digkeit fliegenden Protonen dagegen nur die Energie   1 _ 2  m 0 v 2 ≈   1 _ 2  m 0 c 2 = 0,5GeV Die kinetische Energie ist hier also auf das 800fache ihres Newton’schen Wertes angestiegen. Für v ¥ c wächst die relativistische kinetische Energie über alle Grenzen. Um einen Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, wäre daher unendlich viel Energie erforderlich. Ein bisschen Mathematik Reihenentwicklung Für | x | ≤ 1 gilt   1 _  9 ___ 1 – x = 1 +   1 _  2 · x +   1 · 3 _ 2 · 4  · x 2 +   1 · 3 · 5 _  2 · 4·6 · x 3 +   1 · 3·5 · 7 __  2 · 4 · 6 · 8 · x 4 +… also ist für x =   v 2 _ c 2 :   1 __  9 _ _ 1 –   v 2 _ c 2 = 1 +   1 _ 2  ·  v 2 _ c 2 +   3 _ 8  ·  v 4 _ c 4 +   15 _ 48 ·  v 6 _ c 6 +   105 _ 384 ·  v 8 _ c 8 +… 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 v c / 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 E mc / 2 Ergebnis der Relativitätstheorie Vorhersage der Newton´schen Physik 24.1 Vergleich des relativistischen Aus- drucks für die kinetische Energie eines Teil- chens mit den Vorhersagen der Newton’schen Theorie. Strebt die Geschwindigkeit eines Körpers gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wächst seine kinetische Energie über alle Grenzen. 24.2 Um eine Rakete auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, wäre unendlich viel Energie erforderlich. Untersuche, überlege, forsche: Überlichtgeschwindigkeit 24.1 W 1  Was sind Tachyonen? 24 Relativitätstheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv