Sexl Physik 8, Schulbuch

Die Lorentz-Transformation erfüllt beide Prinzipien: Lorentz-Transformation x ' = ​  x – v · t __ ​ 9 _ _ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​ ​ x = ​  x ' + v · t ' __ ​ 9 ___ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​  ​ y' =  y É y =  y' z' = z z = z' t ' = ​  t – ​  v _  c 2 ​ x __ ​ 9 _ _ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​ ​ t = ​  t ' + ​  v _  c 2 ​ x ' __  ​ 9 _ _ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​  ​ Das Relativitätsprinzip ist erfüllt : Die beiden Systeme S und S' sind gleichberech- tigt, denn man erhält die Formeln der rechten Seite aus den Formeln der linken Seite und umgekehrt, indem man gestrichene und ungestrichene Koordinaten ver- tauscht und v durch –v ersetzt. Das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist erfüllt : Im System S breitet sich ein Lichtsignal längs der x- Achse gemäß der Formel x = c · t aus, seine Ge- schwindigkeit ist x / t = c . Wendet man die Lorentz-Transformation an, so erhält man für die Geschwindigkeit des Lichtsignals im System S ' ebenfalls den Wert c : ​  x ' _ t ' ​= ​  ​  x – v · t __ ​ 9 _ _ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​ ​ __  ​  t – ​  v _  c 2 ​ · x __  ​ 9 _ _ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​  ​ ​= ​  x – v · t __  t – ​  v _  c 2 ​ · x ​ = ​  ​  x _  t ​ – v __  1 – ​  v _  c 2 ​ ·​  x _ t ​  ​ = ​  c – v __  1 – ​  v _  c 2 ​ · c  ​ = ​  c · (1 – ​  v _  c ​ ) __  1 – ​  v _  c ​  ​ = c Die Lorentz-Transformation gibt daher den Zusammenhang zwischen den Syste- men S und S ' korrekt wieder und ersetzt die Galilei-Transformation. Die Lorentz-Transformation ist offenkundig eine Verallgemeinerung der Galilei- Transformation, die aus ihr im Grenzfall v ¥ 0 hervorgeht. Dann wird ​ 9 __ 1– ​  v 2 _ c 2 ​ ​≈ 1 , und der Term ( v / c 2 ) x kann vernachlässigt werden. Falls sich die Inertialsysteme S und S ' mit einer Geschwindigkeit v j c relativ zueinander bewegen (das ist in allen Vor- gängen des Alltagslebens der Fall), gibt die Galilei-Transformation die Relation zwischen den Koordinaten in beiden Systemen annähernd richtig wieder, und die klassische Physik kann angewendet werden. Für v ≈ c werden die Abweichungen von der klassischen Physik dagegen bedeutend. Für v >  c wird die Lorentz-Transformation sinnlos, da dann ​ 9 ___ 1– ​  v 2 _  c 2 ​ ​und damit alle Po- sitions-, Längen- und Zeitangaben imaginär werden. Da aber die Messwerte aller physikalischen Größen reell sind, schließen wir daraus, dass sich kein Körper mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann.   Addition von Geschwindigkeiten a)  Stellen wir uns vor, ein Körper bewege sich mit drei Viertel der Lichtge- schwindigkeit relativ zu einer Rakete, die sich ihrerseits mit der halben Lichtge- schwindigkeit relativ zu uns bewegt. Müsste sich der Körper relativ zu uns nicht mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen? b)  Ein weiteres Beispiel ist die Fluchtbewegung der Galaxien. Je größer die Ent- fernung einer Galaxie ist, desto rascher entfernt sie sich auf Grund der Expan- sion des Weltalls von uns (s. S. 91). Es gibt sehr weit entfernte Galaxien, die drei Viertel der Lichtgeschwindigkeit haben. Müssten zwei solche Galaxien, die sich nach entgegengesetzten Richtungen von uns entfernen, nicht relativ zu einan- der die eineinhalbfache Lichtgeschwindigkeit haben? Um diese Fragen zu beantworten, betrachten wir ein Teilchen T, das sich relativ zu S' mit der Geschwindigkeit u' in x' -Richtung bewegt ( 21.1 ). Mit welcher Geschwindigkeit u bewegt sich das Teilchen relativ zu S? Das Teilchen bewegt sich in S' gemäß der Gleichung u' =  x' / t' und in S gemäß der Gleichung u =  x / t . Zur Umrechnung setzen wir für x und t nach der Lorentz-Trans- formation ein:  Längenkontraktion Wir betrachten einen Eisenbahnwaggon (System S'), der entlang der x' -Achse fährt und in seinem Ruhsystem die Länge l ' hat ( x' hinten  = 0, x' vorne  =  l ' ): Wie groß ist die Länge des Waggons gemessen im System S ? Mit Hilfe der Lorentz-Transformation be- rechnen wir die x- Koordinaten der beiden Waggon-Enden zu einem bestimmten Zeit- punkt t. Die Differenz der beiden Koordina- ten ist dann die Länge l des Waggons in S. Wir kennen x' und t und wollen x aus­ rechnen. Daher müssen wir die Lorentz-Transformation zuerst geeignet umformen: x ' = ​  x – v · t _  ​ 9 ___ 1– ​  v 2 _  c 2 ​ ​ ​ w x = x ' ·​ 9 ___ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​ Waggon-Ende ( x' = 0): x hinten  = 0 ·​ 9 ___ 1– ​  v 2 _  c 2 ​​+ v · t Waggon-Anfang ( x' =  l ' ): x vorne  =  l ' ·​ 9 ___ 1 – ​  v 2 _  c 2 ​​+ v · t x vorne  – x hinten  =  l ' ·​ 9 ___ 1 – ​  v 2 _  c 2 ​​ Die Länge des Waggons in S ist also l =  l ' ·​ 9 ___ 1 – ​  v 2 _ c 2 ​​. Dies ist kleiner als l ', der Waggon ist in S also verkürzt bzw. kontrahiert. z y x S z’ y’ x’ v S’ T u’ 21.1 Bei der Umrechnung der Geschwindig- keit eines Teilchens in ein anderes Bezugssys- tem darf man die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme nicht einfach zur Geschwindig- keit des Teilchens addieren. 21 | Relativitätstheorie Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv