Sexl Physik 8, Schulbuch

Experiment: Magnetpendel Du brauchst : Fadenpendel mit Eisenkugel; passende Aufhängung; drei Magnetschei- ben, Kreisscheibe aus Papier zur Fixierung der Magnete; Eisenfeilspäne. Was ist zu tun? Lege die Magnete so auf den Rand der Kreisscheibe, dass sie die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden und mit dem gleichen Pol nach oben zeigen. Mar- kiere den Mittelpunkt. In der Ruhelage soll das Pendel genau über dem Mittelpunkt hängen. Lenke die Pendelkugel aus und beobachte die Schwingung. Wiederhole das Ex- periment, lass dabei die Pendelkugel immer an derselben Stelle los ( 105.1 ). 105.1 E 1  Starte das Pendel immer von der gleichen Stelle. Trage in eine Tabelle ein, bei welchem Magneten die Pendelkugel jeweils zur Ruhe kommt. Untersuche, ob es dabei irgendeine Regelmäßigkeit gibt. 105.2  Untersuche, welche Kräfte auf die Pendelkugel an verschiedenen Stellen wirken: E 1 a)  Lege eine durchsichtige Folie über die Magnete. Überlege, welche Kräfte auf die Kugel an einem bestimmten Punkt wirken. E 1 b)  Prüfe deine Überlegung mit der am Faden hängenden Eisenkugel. E 1 c)  Zeichne auf der Folie mit einem Pfeil die Kraftrichtung ein. Bestreue die Folie mit Eisenfeilspänen. Welches Feldlinienmuster siehst du? E 2 d)  Warum wirken sich kleine Störungen und kleine Änderungen des Start- punkts möglicherweise auf die Bahn der Pendelkugel aus? Vergleiche die Situati- on des Pendels mit einer Kugel, die auf einen Wall zuläuft. Wo liegen beim Ma- gnetpendel die „sensitiven“ Stellen (  105.2 )? 105.3 E 2  Handelt es sich bei einem Spielwürfel um ein chaotisches System? Welche sensitiven Stellen durchläuft der Würfel immer wieder? ? Antwort auf die Eingangsfrage Figuren mit hoher Selbstähnlichkeit bezeichnet man als Fraktale . Der Zweig der Mathematik, der sich mit Fraktalen beschäftigt, ist die fraktale Geometrie. Das auf   102.1 ausschnittsweise dargestellte Gebilde, die Mandelbrot-Menge , wird mittels Rückkopplung als Folge von komplexen Zahlen erzeugt. Der schwarze Bereich gibt jenen Teil der Ebene der komplexen Zahlen c an, in dem die Rück- kopplung z k+1 = z k 2  + c (mit z 0 = 0 ) endlich bleibt, c -Werte außerhalb der schwarzen Figur streben bei der Rückkopplung gegen unendlich. Interessant ist der Rand der Figur. Untersucht man ihn mit der Lupe, findet man in immer kleinerem Maßstab dieselben oder ähnliche geometrischen Gebilde: man nennt dies Selbstähnlichkeit. Die fraktale Geometrie wurde vom französisch-US-amerikanischen Mathematiker B enoît M andelbrot (1924–2010) intensiv untersucht und mit dem Buch Die fraktale Geometrie der Natur populär gemacht. Er wandte die fraktale Geometrie auf reale Objekte an, indem er ihre Rauigkeit untersuchte. Ein bekanntes Beispiel ist die Be- stimmung der Länge eines Stücks Meeresküste: Ihr Betrag hängt vom verwendeten Maßstab ab. Gemessen durch Landvermesser zwischen markanten Punkten der Küste oder gemäß der Länge eines Wanderwegs am Ufer oder unter Berücksichti- gung der einzelnen Felsen – jedes Mal ergibt sich ein anderer Wert.  Untersuche, überlege, forsche: Fraktale 105.1 W 1  Suche im Internet Bilder von fraktalen Mengen und selbstähnlichen Objek- ten. Versuche, mit geeigneten Programmen derartige Figuren selbst zu zeichnen! (Anleitungen unter physikplus.oebv.at )  Teste dein Wissen W 1 105.1 Beim Magnetpendel kann man nicht vorhersagen, wo die Kugel zur Ruhe kommt. Kleine Änderungen des Startpunkts und kleine Störungen während des Versuchsverlaufs be- wirken sehr große Änderungen der jeweiligen Bahn. Die Kugel durchläuft mehrfach „sensiti- ve“ Stellen labilen Gleichgewichts (sie liegen auf einem sternförmigen Bereich). 105.3 Ein Objekt nennt man selbstähnlich , wenn ein Teil des Objektes nach einer Vergrö- ßerung dem ursprünglichen Objekt ähnlich ist. 105.2 Jede Stelle entspricht einem Start- punkt des Pendels. Die Farbe entspricht dem Magneten, an dem das Pendel zum Stillstand kommt. Es gibt deterministische Bereiche, also Bereiche in denen benachbarte Anfangsbedin- gungen alle denselben Endzustand haben, und fraktale Bereiche, wo Anfangsbedingungen mit verschiedenen Endzuständen beliebig dicht nebeneinander liegen. 105.4 Eine typische selbstähnliche Pflanze ist – wie der Karfiol – der Blumenkohl Romanesco. 105.1 Chaotische Systeme sind deterministische dynamische Systeme. Was versteht man unter diesen Begriffen? 105.2 Was versteht man unter starker und schwacher Kausalität? Durch welche Art von Kausalität lassen sich chaotische Systeme charakterisieren? 105.3 Erkläre, warum das beschriebene Magnetpendel ein chaotisches System ist. 105.4 Nenne Beispiele für chaotische Systeme und beschreibe sie. 105.5 Was versteht man unter Fraktalen? 105 | VERTIEFUNG UND WIEDERHOLUNG Nur zu Prüfzwecken – Ei ge ntum des Verlags öbv