Physik Sexl 6 RG, Schulbuch

Mittels 18.1 analysieren wir die Situation. Felge, Schlauch und Reifen enthalten (fast) die gesamte Masse m des Rades (Radius R ), die gleichmäßig entlang des Um- fangs verteilt ist. Nur das Gewicht F des Ventils in P setzt das Rad in Drehung. Wir zerlegen die Gewichtskraft in zwei Komponenten: eine radiale Komponente F R , die an den Speichen des Rades zieht, und eine tangentiale Komponente F T , die das Rad in Richtung der Ausgangslage des Ventils beschleunigt. Bei einem Auslenkwinkel γ ist F T = F · sin γ . F T beschleunigt die gesamte Masse m des Rades. Daher gilt: m · a = m · R · α = F T = F · sin γ . Wir multiplizieren diese Gleichung mit R und beachten die Geometrie des schraf- fierten Dreiecks in 18.1 . Wir erhalten (1) m · R 2 · α = F · R · sin γ = F · r 0 . Drehmoment Die rechte Seite der Gleichung (1) hat die Form Kraft mal Länge : Der Ausdruck F · R · sin γ = F · r 0 heißt Drehmoment M bezüglich der Drehachse O. Die Größe r 0 be- zeichnet man als Kraftarm . Aus 18.1 erkennen wir: Der Angriffspunkt der Kraft kann entlang der Wir- kungslinie w beliebig verschoben werden, dabei bleibt das Drehmoment gleich. Das Drehmoment ist ein Vektor und gibt die Richtung der Drehbeschleunigung an. Es steht senkrecht auf der durch æ r und æ F gebildeten Ebene und kann als Vektor- produkt M æ = æ r × æ F geschrieben werden. Drehmoment = Kraft mal Kraftarm M = F · r 0 = F · r · sin γ Einheit: N · m (Newtonmeter) Trägheitsmoment Die linke Seite der Gleichung (1) ist das Produkt aus Winkelbeschleunigung α und einer für das Rad spezifischen Größe m · R 2 , die als Trägheitsmoment I bezeichnet wird. Damit lautet die linke Seite der Gleichung (1): Trägheitsmoment mal Win- kelbeschleunigung . Das Trägheitsmoment spielt für Winkelbeschleunigungen dieselbe Rolle wie die Masse für geradlinige Beschleunigungen. Das Trägheitsmoment hängt nicht nur von der Masse des starren Körpers ab, sondern auch von der Massenverteilung in- nerhalb des Körpers bezüglich der Drehachse. Für ein Rad, bei dem die gesamte Masse in der Felge konzentriert ist, gilt I = m · R 2 . (Trägheitsmomente anderer star- rer Körper sind in 18.3 angeführt.) Gleichung (1) kann daher in folgender Form geschrieben werden: Bewegungsgleichung der Rotation M æ = I · æ α​ Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung Ein Drehmoment beschleunigt die Rotationsbewegung eines starren Körpers ähn- lich wie eine Kraft den Bewegungszustand eines Massenpunkts verändert.  Trägheitsmoment beliebig geformter Körper Man denkt sich den starren Körper in einzelne Massenpunkte (Masse m i , Abstand von der Drehachse r i ) zerlegt. Das Trägheitsmoment des Körpers ist die Summe der Einzelbeiträge: I = m 1 · r 1 2 + m 2 · r 2 2 + …  Gleichgewicht von Drehmomenten und Hebelgesetz Greifen an einem starren Körper mehrere Drehmomente an, so sind sie nach den Regeln der Vektorrechnung zu addieren. Wenn sich die Drehmomente zu Null ad- dieren, dann befindet sich der Körper im Gleichgewicht. D. h. es tritt keine Winkel- beschleunigung auf, der starre Körper bleibt in Ruhe oder rotiert weiter mit kon- stanter Winkelgeschwindigkeit. 18.1 Die Kraft F greift am Punkt P des um O drehbaren Körpers an und erzeugt ein Drehmoment. Das Drehmoment hat den Be- trag Kraft F mal Kraftarm r 0 . Seine Richtung steht normal auf die Ebene aus r und F . 18.2 Zur Berechnung des Trägheitsmoments eines Ringes: Zerlege den Ring in kleine Teil- massen d m . Jede trägt zum Trägheitsmoment d m · R 2 bei, insgesamt gilt daher I = m · R 2 . 18.3 Trägheitsmomente einfacher Körper bzgl. einer drehsymmetrischen Achse durch den Mittelpunkt 18.4 Erfahrungen mit der Trägheit bei Drehbe- wegungen: Wenn man die Massen enger zu- sammenschiebt, dann lässt sich die Hantel we- sentlich leichter nach oben und unten kippen. Warum ist das so? Wie hängt die Massenvertei- lung mit der Trägheit zusammen? r 0 P F R F T F O (Drehachse)     R r w R Rotationsachse d m Hohlzylinder, Rad mit (masselosen) Speichen m · R 2 Vollzylinder, homogenes Scheibenrad ½ m · R 2 Homogene Vollkugel 2/5 m · R 2 Dünner Stab (Länge L , Drehachse senkrecht zum Stab durch den Mittelpunkt) 1/12 m · L 2 18 MECHANIK 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv