Physik Sexl 6 RG, Schulbuch

Kopfball Fußbälle verlieren beim Rückspringen von einem harten Boden nur wenig an Geschwindigkeit, ihre Stöße sind daher in guter Näherung elastisch. Was sagt die Physik zum Kopfball? Welcher Impuls wird auf den Kopf eines Fußballers übertragen, welche Kraft wirkt innerhalb der Kontaktzeit von ca. 0,01 s ? Dazu brauchen wir einige Daten: Die Masse des Balls ist m 1 = 0,45 kg . Die Masse m 2 des Kopfes ist 6–7kg : nehmen wir sie mit 6,75 kg an, etwa dem 15-Fachen der Ballmasse. Die Ballgeschwindigkeit sei 50 km/h oder 14m/s : Der Kopf erfährt eine Impulsänderung m 2 v 2 ‘ = 2 m 1 · m 2 __ m 1 + m 2 v 1 = 11,8Ns. Dies scheint ein kleiner Kraftstoß zu sein. Wegen der kurzen Einwirkungsdauer von etwa 0,01 s ist die Kraft allerdings 1 180N , und bewirkt eine kurzzeitige Be- schleunigung a = F / m 2 = 1 180/6,75m · s ‒ 2 = 175m · s ‒ 2 des Kopfes, das 17,5 -Fache der Fallbeschleunigung! Kann das schaden? Geübte Fußballer spannen vor dem Ballkontakt die Nackenmuskulatur an, so dass m 2 um die Masse des Oberkör- pers vergrößert wird und die Beschleunigung reduziert wird, das Genick wird dadurch geschont.  Was sagen die Energie- und Impulsbilanz für den Fall: Körper 1 stößt elastisch gegen den ruhenden Körper 2? Die Bewegung erfolgt nur in einer Richtung, daher können wir Vektorpfeile weglassen ( 11.1 ). Gesamtenergie Gesamtimpuls vor dem Stoß E = ½ m 1 · v 1 2 + 0 + U p ges = m 1 · v 1 + 0 nach dem Stoß E = ½ m 1 · v 1 ’ 2 + ½ m 2 · v 2 ’ 2 + U p ges = m 1 · v 1 ’ + m 2 · v 2 ’ Da sich die innere Energie U beim elastischen Stoß nicht ändert, bezeichnen wir sie vor und nach dem Stoß gleich. Die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls blei- ben im abgeschlossenen System konstant. Es muss daher gelten: ½ m 1 · v 1 2 + U = ½ m 1 · v 1 ’ 2 + ½ m 2 · v 2 ’ 2 + U , (I) m 1 · v 1 = m 1 · v 1 ’ + m 2 · v 2 ’ (II) Die Gleichungen (I) und (II) lassen sich umformen zu m 1 · ( v 1 2 – v 1 ’ 2 ) = m 2 · v 2 ’ 2 oder m 1 · ( v 1 + v 1 ’)( v 1 – v 1 ’) = m 2 · v 2 ’ 2 (I’) m 1 · ( v 1 – v 1 ’) = m 2 · v 2 ’ (II’) Wir haben zwei Gleichungen für die Unbekannten v 1 ’ und v 2 ’ gewonnen. Dieses Gleichungssystem lösen wir auf und erhalten: v 1 ’ = m 1 – m 2 __ m 1 + m 2 · v 1 und v 2 ’ = 2 m 1 __ m 1 + m 2 · v 1 . Wir betrachten zwei Spezialfälle: Elastischer Zusammenstoß zweier Körper mit gleicher Masse ( m 1 = m 2 ): Körper 1 bleibt liegen ( v 1 ’ = 0 ), Körper 2 fliegt mit der Geschwindigkeit v 2 ’ = v 1 weg. Die Körper tauschen beim Stoß die Geschwindigkeiten aus. Elastischer Zusammenstoß zweier Körper bei großem Massenunterschied: m 2 » m 1 : Wenn Körper 2 eine sehr viel größere Masse als Körper 1 hat, können wir in den Formeln die Masse m 1 vernachlässigen und erhalten: v 1 ’ = ‒ v 1 , v 2 ’ = 0 , d. h. Körper 1 wird mit unverändertem Geschwindigkeitsbetrag reflektiert. Dies gilt z. B. beim elastischen Stoß eines Balles gegen eine Wand ( 11.2 ). m 1 » m 2 : Wenn hingegen Körper 2 eine sehr viel kleinere Masse als Körper 1 hat, können wir in den Formeln die Masse m 2 vernachlässigen und erhalten: v 2 ’ = 2 v 1 . Körper 2 fliegt also mit höherer Geschwindigkeit weg, als der stoßende Körper 1 hatte ( 11.1 ). m 1 m 1 v 1 v 1 v 2 v 2 = 0 m 2 m 2 ' ' 11.1 Elastischer Stoß zwischen ungleichen Partnern: die gesamte kinetische Energie ver- teilt sich nach dem Stoß auf die beiden Stoß- partner. Beim elastischen Stoß wird die innere Energie der Stoßpartner nicht verändert. m 1 v 1 v 2 = 0 v’ 2 = 0 m 1 v’ = – 1 v 1 m 2 11.2 Elastischer Stoß gegen eine Wand, elastische Körper werden mit unverändertem Geschwindigkeitsbetrag reflektiert 11.3 Kopfball: Kurz (nur wenige Hundertstel Sekunden), aber heftig ist der elastische Stoß zwischen Kopf und Ball 11 | MECHANIK 2 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv