Das Zahlenbuch 1, Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer mit CD-ROM

74 Themenblock Einführung der Subtraktion Mathematische und didaktische Grundlagen Jede Erkenntnis beruht auf früheren Erkenntnissen und ist die Grundlage für Erkenntnisse auf einer höheren Stufe. Jean Piaget Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Daher kön- nen die Ergebnisse von Subtraktionsaufgaben aus den Ergebnis- sen von Additionsaufgaben abgeleitet werden. Aus diesemGrund wird die Subtraktion in der Regel im Anschluss an die Addition behandelt. Das Zahlenbuch folgt dieser Tradition, allerdings nicht uneingeschränkt. Die Autoren sind sich bewusst, dass die Addi- tion und die Subtraktion in der operativen Rechendidaktik von Arnold Fricke von Anfang an im Zusammenhang behandelt wur- den. Auch ist ihnen bekannt, dass es in der japanischen Rechen- didaktik einzelne Stimmen gibt, die sogar für eine Behandlung der Subtraktion vor der Addition plädieren, weil die Subtraktion schwieriger als die Addition ist. Um diesen Argumenten Rechnung zu tragen werden im Zahlen- buch operative Beziehungen zwischen Addition und Subtrakti- on schon vor den Themenblöcken zur Addition und Subtraktion hergestellt: Bereits auf der Seite 38, „Anzahlen verändern“, tre- ten Plus- und Minusaufgaben im Zusammenhang auf. Auch die Blitzrechenübungen „Zerlegen“ und „Immer 10/ Immer 20“ stellt schon einen engen Bezug zwischen beiden Operationen her, wie sich auf den folgenden Seiten noch deutlicher zeigen wird. Weiter ist anzumerken, dass nach dem Themenblock „Einfüh- rung in die Subtraktion“ sofort der Themenblock „Integrierende Übungen“ folgt, in demAddition und Subtraktion explizit verzahnt werden, was sich auf die weiteren Durchgänge durch diese The- men günstig auswirkt. Die Beziehungen zwischen Addition und Subtraktion werden später bei den Übungsformaten „Rechen- dreiecke“, „Zahlenmauern“, „Plusquadrate“ „Zauberquadrate“ und „Igeldreiecke“ (letztere im Heft „Probieren und Kombinieren) noch weiter gefestigt. Besonderheiten der Subtraktion Die Subtraktion unterscheidet sich von der Addition formal da- durch, dass die beiden Zahlen auf der einen Seite des Gleichheits- zeichens einen unterschiedlichen Status haben, was sich schon daran zeigt, dass für die Subtraktion nicht das Vertauschungsge- setz gilt. Daher ist es besonders wichtig, dass die Handlungen, die der Subtraktion zugrunde liegen, sorgfältig geklärt werden. Ein Rechensatz wie 8–2 muss strikt von links nach rechts gelesen und mit Handlungen verbunden werden: Die Zahl 8 ist durch eine Menge (z. B. von Plättchen) gegeben. Das Minuszeichen zeigt an, dass etwas weggenommen oder abgedeckt wird. Die hinter dem Minuszeichen stehende Zahl zeigt an, wie viel weggenommen oder abgedeckt wird. Die Anzahl der verbleibenden Plättchen steht als Ergebnis auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens. Genauso wenig wie man bei der Addition das Pluszeichen nur als „Hinzufügen“ und das Gleichheitszeichen nur als „ergibt“ verste- hen darf, darf man bei der Subtraktion das Minuszeichen nicht nur als „Wegnehmen“ (insbesondere des vorher Hinzugefügten) und das Gleichheitszeichen nur als „ergibt“ interpretieren. Das Mi- nuszeichen kann auch „Abdecken“ bedeuten. Weiter muss das Wegnehmen oder Abdecken von Plättchen auch nicht immer „von rechts“ erfolgen. Von Anfang an muss also im Auge behal- ten werden, dass die Subtraktion als Umkehrung der Addition in zwei Varianten vorkommt: als Abziehen und als Ergänzen . Dass die Division als Umkehrung der Multiplikation zwei Aspekte hat, das Teilen und das Messen, ist allgemein bekannt und wird in den Schulbüchern berücksichtigt. Die Erkenntnis, dass der Fall bei der Subtraktion genauso liegt, ist noch nicht so weit verbreitet. Eins nach dem anderen Angesichts dieser Komplexität der Subtraktion verbietet es sich, alle ihre Besonderheiten auf einen Schlag zu behandeln. Der richtige Weg besteht daran, bei den verschiedenen Durchgängen durch die Subtraktion eine Besonderheit nach der anderen einzu- beziehen und das Verständnis zu erweitern. Auf später aufgeschoben wird insbesondere der Aspekt „Ergän- zen“, für den eine eigene Seite vorgesehen ist (Seite 92): 92 ■ 1 Das Ergänzen voneinem Summandenaufdie Summean Sachsituationen klären. 2−5 Aufgabendurch Ergänzen lösen.  Arbeitsheft, Seite57 Ergänzen 4 2 1 5 3 8 + =14 9 + =15 10 + =16 11 + =18 13 + =20 7+ =10 6+ =10 5+ =10 3+ =10 2+ =10 18 + =20 8 + =20 14 + =20 4 + =20 16 + =20 8+ =16 8+ =15 8+ =13 8+ =11 8+ =10 9 + =16 10 + =16 11 + =16 12 + =17 13 + =17 15 + =20 10 + =20 20 + =20 0 + =20 5 + =20 4+ =10 4+ =11 5+ =11 5+ =12 6+ =12 7+ =12 6+ =12 5+ =12 3+ =12 2+ =12 Erkläre die Aufgaben an den Bildern. Rechne. 13 + =16 11 + =15 9+ =12 Die Beziehung „Teil-Ganzes“ Um die operativen Beziehungen zwischen Addition und Sub- traktion deutlich zu machen, ist es sinnvoll, das Abdecken einer Teilmenge gegenüber dem Wegnehmen zu betonen. In der an- gelsächsischen Didaktik spricht man hier von der Notwendigkeit die Beziehung „Teil-Ganzes“ zu betonen. Was bedeutet das für den Unterricht? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv