Das Zahlenbuch 1, Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer mit CD-ROM

62 Themenblock Einführung der Addition Mathematische und didaktische Grundlagen Einzelheiten lehren heißt Verwirrung stiften, Beziehungen unter den Dingen herstellen heißt zu Erkenntnissen verhelfen. Maria Montessori Es ist kaum zu glauben, trifft aber zu, dass die gesamte Addition und das „rechnende Zählen“ als mündliche Vorform der Addi­ tion auf lediglich zwei Rechengesetzen beruhen. Im Zahlenbuch werden sie von Anfang an zur Geltung gebracht: –– Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): a+b=b+a –– Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): a+ (b+c) = (a+b) +c. Die bewusste Nutzung dieser Gesetze erleichtert das Rechnen schon in der Volksschule, natürlich nicht in ihrer formalen Dar- stellung, sondern in der operativen Deutung nach Arnold Fricke. „Operativ“ heißt, dass man die in diesen Gesetzen verborgenen Handlungen zur Geltung bringt. Dies gelingt z. B. dadurch, dass man Zahlen durch Plättchenmengen darstellt, mit denen man konkret operieren kann. Wendeplättchen erlauben es, Summan- den farblich zu unterscheiden. Die beiden Gesetze folgen aus der Tatsache, dass die Anzahl der Plättchen einer Menge nicht von der räumlichen Lage der Plätt- chen abhängt. Vertauschungsgesetz: Für die Anzahl der Plättchen einer aus zwei Teilmengen zusam- mengesetzten Menge ist es gleichgültig, ob man erst die eine und dann die andere Teilmenge legt. Verbindungsgesetz: Teilmengen einer Menge von Plättchen kann man beliebig zerle- gen und die Teile beliebig neu kombinieren. Auch dies ändert an der Gesamtzahl der Plättchen nichts. Bei diesem Themenblock wird die Addition lediglich eingeführt . Es wäre absurd anzunehmen, die Kinder sollten am Ende des Blocks das gesamte Einspluseins können. Es handelt sich hier um den ersten Durchgang, dem weitere folgen werden, besonders imThemenblock „Vertiefende Übungen“, wo das Einspluseins mit Hilfe der Einspluseinstafel im Zusammenhang behandelt wird. Natürlich gehört das „Einspluseins“ auch zum „Blitzrechnen“ und wird später automatisiert. Anwendung der Rechengesetze auf das Rechnen Das Vertauschungsgesetz ist leicht anzuwenden. Man nutzt es um die größere von zwei Zahlen als ersten Summanden zu plat- zieren. Dies führt in der Regel zur Vereinfachung von Rechnungen. Mehr Aufmerksamkeit erfordert das Verbindungsgesetz, da es mindestens drei verschiedene Interpretationen erlaubt: 1. Interpretation: Eine Summe kann schrittweise berechnet wer- den, indem man den zweiten Summanden zerlegt und zuerst den ersten, dann den zweiten Teilsummanden addiert. Das ist die naheliegende Anwendung des Gesetzes. Beispiel: 7+5=7+ (3+2) = (7+3) +2=10+2=12. Am Zwanzigerfeld wird zuerst 7 gelegt. Dann werden 5 Plättchen dazugelegt, 3 in der ersten, 2 in der zweiten Reihe. Nach der ers- ten Hinzufügung hat man das Zwischenergebnis 10. 2. Interpretation: Wenn ein Summand einer Summe um einen bestimmten Wert erhöht wird, erhöht sich die Summe genau um diesen Wert. Beispiel: 7+8=7+ (7+1) = (7+7) +1=14+1=15 Am Zwanzigerfeld wird zuerst 7+7 gelegt. Wenn zur ersten 7 ein Plättchen hinzugefügt wird, erhöht sich nicht nur dieser Sum- mand, sondern auch die Summe um 1. 3. Interpretation: Wenn ein Summand auf Kosten eines anderen erhöht wird, bleibt die Summe gleich. Beispiel: 10=5+5=5+ (2+3) = (5+2) +3=7+3=10 Am Zwanzigerfeld wird 5+5 gelegt. Dann werden von der zwei- ten 5 zwei Plättchen gewendet. Ein Summand nimmt um genau- so viel zu wie der andere abnimmt. Die Summe bleibt gleich. Freie Wahl von Rechenwegen Die beiden obigen Gesetze stehen fest, aber der Natur mathe- matischer Gesetze entsprechend ist ihre Anwendung frei. Nicht nur der Unterricht in der Volksschule sondern auch der spätere Algebraunterricht profitiert davon, dass die Kinder verschiedene Rechenwege kennen lernen. Dem Rechnen feste Wege vorzu- schreiben, z. B. „ den Zehnerübergang“, ist ein mathematischer Kunstfehler. Natürlich heißt dies nicht, dass jedes Kind möglichst viele verschiedene Wege gehen soll. Es heißt nur, dass es sich der Existenz verschiedener Wege bewusst sein und dieses Wissen für sich individuell nutzen muss. Einfache Aufgaben Das Verbindungsgesetz erlaubt es, schwierigere Einspluseins- aufgaben auf folgende einfachen Aufgaben zurückzuführen, die zum größten Teil schon behandelt wurden: –– Addition von Zahlen im Fünferraum („Wie viele?) –– Addition von 1 (Zahlenreihe) –– Ergänzen bis 10 (Immer 10) –– Addition von 5 (Kraft der Fünf) –– Verdopplungsaufgaben Alle diese Aufgaben gehören, wie in Klammern angedeutet, zum „Blitzrechnen“, zu dem auch noch das ebenfalls schon behandel- te „Zerlegen“ gehört, das bei der Anwendung des Verbindungs- gesetzes eine entscheidende Rolle spielt. Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv