Big Bang 7, Schulbuch

72 RG 7.2 G 7.2 Kompetenzbereich Atomphysik Bis jetzt haben wir einen vereinfachten, eindimensionalen Fall betrachtet. Wie man sich die Grundwelle in drei Dimen- sionen vorstellen kann, zeigt Abb. 34.18. Das Elektron ist dann quasi in einem Potenzialwürfel eingesperrt (a). Weil die Wahrscheinlichkeitsdichte in alle drei Raumrichtungen in der Mitte am größten ist, ergibt sich in Summe ein kugel- förmiges Orbital (b–d). Je weiter man sich vom Atomkern entfernt, desto geringer wird die Wahrscheinlichkeitsdichte. Abb. 34.18: Das einfachste Orbital, das 1s-Orbital, in verschiedenen Dar- stellungen: a) Wahrscheinlichkeitsdichte in den einzelnen Dimen- sionen im Potenzialwürfel, b) 3d-Wolke, c) Zufallspunkte, d) Fläche Dass das Orbital mit der niedrigsten Energie, man nennt es das 1s-Orbital, kugelförmig sein muss, haben wir schon aus der Unschärferelation abgeleitet (siehe Abb. 34.10, S. 69). Mit Hilfe der Wellenfunktion kann man aber auch die Or- bitale berechnen, wenn sich das Elektron im angeregten Zu- stand befindet. Die einzige Variation bei eindimensionalen stehenden Wellen ist die, dass die Wellenlänge der Ober- wellen kürzer wird. Aber bereits in zwei Dimensionen gibt es sehr viele Variationsmöglichkeiten, wie man an den Beispie- len in Abb. 34.12 und 34.13 auf S. 70 sehr gut sehen kann. Quantisierte Energie Mit Hilfe der de Broglie-Gleichung kann man einer Materie- welle auf Grund ihrer Wellenlänge einen Impuls zuordnen: p = h/ λ . Nun können sich aber im Potenzialtopf nur ganz bestimmte Wellenlängen ausbilden, nämlich immer nur Vielfache vo n λ / 2 (siehe Abb. 34.11, S. 70, und 34.17, S. 71). Wenn d die Breite des Potenzialtopfs ist, dann gilt d = n λ /2 und λ = 2 d/n . Das setzen wir in die de Broglie-Gleichung ein und erhalten λ = h __ p = h ___ 2 d __ n = n h __ 2 d Nun besteht aber auch ein Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie und dem Impuls (siehe Kap. 34.2, S. 68): E = p 2 ___ 2 m ⇔ E = ( nh ___ 2 d ) 2 _____ 2 m = n 2 h 2 _____ 8 d 2 m Je kürzer die Wellenlänge wird, desto größer wird die Ener- gie des eingesperrten Elektrons. Es gilt: E ~ n 2 . Das Elektron kann also nicht beliebige Energien haben, sondern nur ganz bestimmte. Man sagt daher, die Energie des Elektrons ist quantisiert. i Die dreidimensionalen stehenden Wahrscheinlichkeits- wellen im Wasserstoffatom können noch wesentlich kompli- zierter sein. Einige Beispiele dazu siehst du in Abb. 34.19. Zu ihrer exakten Berechnung darf man aber nicht die idea- lisierte Form des Potenzialtopfs verwenden (Abb. 34.17, S. 71, und Abb. 34.18), sondern die tatsächliche (siehe Abb. 34.15 b, S. 71). Abb. 34.19: Einige Beispiele für Orbitalformen im Wasserstoffatom in einer Querschnittsdarstellung: Rechts oben ist die Wellenfunktion zu sehen, mit der die Orbitale berechnet wurden. Mit zunehmen- der Energie werden die Formen immer bizarrer. Die drei Ziffern geben die Hauptquantenzahl n , die Drehimpulsquantenzahl l und die magnetische Quantenzahl m an (siehe Kap. 34.5. S. 76). Zusammenfassung Das Elektron in der Hülle eines Wasserstoffatoms kann mit einer stehenden Wahrscheinlichkeitswelle beschrieben wer- den. Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, das Elektron an bestimmten Punkten messen zu können. Die Wahrscheinlichkeit wird auch als Orbital bezeichnet. Wie bei einer schwingenden Saite sind auch bei den Orbita- len Oberwellen möglich, die den Wahrscheinlichkeitswellen der angeregten Elektronen entsprechen. Da aber nur ganz bestimmte Konfigurationen erlaubt sind, kann das Elektron auch nur ganz bestimmte Energien annehmen. Die Energie des Elektrons ist quantisiert. Z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv