Big Bang 7, Schulbuch

Welle und Teilchen 33 RG 7.2 G 7.2 Kompetenzbereich Quantenphysik 63 Es gibt in der modernen Physik einige gewichtige Argumen- te gegen die Vorherbestimmtheit, also gegen den Determi- nismus ( F20 ). Ein Argument hast du in Kap. 33.5 bereits kennen gelernt: Im Reich der Quanten wird gewürfelt! Es ist also prinzipiell unmöglich, für ein einzelnes Quant eine ex- akte Vorhersage zu treffen. Du kannst nur eine Wahrschein- lichkeit angeben, ähnlich wie beim Würfeln. Es gibt aber noch ein weiteres Argument gegen den Deter- minismus, das noch eine Ebene tiefer liegt. Es ist nämlich bereits unmöglich, den exakten Zustand eines Quants zu einem bestimmten Zeitpunkt festzustellen. Konkret gesagt: Es ist unmöglich, sowohl den exakten Ort als auch den exak- ten Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu bestimmen. Es bleibt beim Messen immer eine gewisse Unbestimmbarkeit über, die man auch Unschärfe nennt. Das hat der deutsche Physiker W ERNER H EISENBERG 1927 entdeckt (Abb. 34.20, S. 73), und man nennt diesen Effekt daher Heisenberg’sche Un- schärferelation. Einzelspalt 1 Eine Möglichkeit, die Unschärferelation qualitativ herzulei- ten, ist mit Hilfe eines Einzelspalts, durch den du ein Quant schickst. In dem Moment, wenn das Quant den Spalt pas- siert, kannst du den Ort bestimmen. ∆ kann man als Schwankung um einen Mittelwert auffassen. Die Spaltbreite entspricht daher ± ∆ x bzw. 2 ∆ x (Abb. 33.29 a), also der dop- pelten Ortsunschärfe. Je geringer diese ausfallen soll, desto kleiner musst du logischerweise den Spalt machen. Die Wahrscheinlichkeitswelle des Quants wird beim Durch- gang durch den Spalt gebeugt. Diese Beugung fällt umso stärker aus, je enger der Spalt ist ( F21 ). Mit dem Verklei- nern des Spaltes wächst also die Impulsunschärfe ∆ p . Das bedeutet: Je kleiner die Ortsunschärfe ∆ x wird, desto größer wird die Impulsunschärfe ∆ p und umgekehrt. Es können aber nicht beide Unschärfen gleichzeitig verkleinert werden. i Abb. 33.29: Je enger der Spalt wird, desto kleiner wird die Ortsunschär- fe ∆ x (von a nach c). Gleichzeitig wird aber die Impulsunschärfe ∆ p größer. Das kannst du am Auseinanderlaufen der Helligkeits- verteilung am Schirm erkennen. Formel: Heisenberg’sche Unschärferelation für Impuls und Ort ∆ p · ∆ x ≥ h ___ 4 π ≈ h __ 13 ∆ p … Impulsunschärfe [kgms –1 ] ∆ x … Ortsunschärfe [m] h … Planck’sches Wirkungsquantum [Js] h = 6,63·10 –34 Js Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Unschärferelation qualitativ herzuleiten. Das Ergebnis ist immer dasselbe: Es bleibt eine Mindestunschärfe über, die bei rund h /13 liegt (Abb. 33.30). Du kannst zwar die Ortsunschärfe reduzieren oder die Impulsunschärfe, aber niemals beide gleichzeitig. Die Mindestunschärfe verhält sich wie die Fläche eines Rechtecks und ∆ x und ∆ p wie dessen Seiten. Durch diesen Umstand verliert auch der „Bahnbegriff“ in der Quanten- mechanik seine Gültigkeit. Das spielt vor allem beim quan- tenmechanischen Atommodell eine große Rolle (siehe Kap. 34.2 f., ab S. 68). Info: Einzelspalt 1 + 2 Info: Frequenzunschärfe -> S. 64 Info: Voyager und Elektron -> S. 64 Abb. 33.30: Es gibt eine Mindestunschärfe, die man nicht verkleinern kann, und diese verhält sich wie die Fläche eines Rechtecks. Die Verkleinerung einer Seite führt automatisch zu einer Vergröße- rung der anderen, aber die Fläche bleibt gleich groß. F Einzelspalt 2 Exakt lässt sich die Unschärferelation nur mit Hilfe der Wellengleichung herleiten. Es gibt aber eine einfache Her- leitung, die zumindest die Größenordnung trifft. Wir neh- men an, dass der Großteil der Teilchen zwischen den beiden ersten Beugungsminima auftrifft. Der Spalt soll die Breite d = 2 ∆ x haben. In der Literatur findest du, dass der Winkel, unter dem das erste Beugungsminimum auftritt, durch sin α = λ / d = λ /(2 ∆ x ) gegeben ist. Nach dem Durchgang durch den Spalt ist der Impuls in x -Richtung p x = 0 ± ∆ p x (siehe Abb. 33.29 b). Weiters gilt tan α = ∆ p x / p y . Weil für kleine Winkel sin α ≈ tan α gilt, folgt daraus λ /(2 ∆ x ) ≈ ∆ p x / p y . Nun ist aber der Impuls eines Quants p = h / λ (siehe Kap. 33.4, S. 59). Daher gilt λ /(2 ∆ x ) ≈ ∆ p x λ / h und daraus folgt ∆ x · ∆ p x ≈ h /2 . Diese Gleichung stimmt immerhin bis auf einen Faktor 2 π mit der exakten Formulierung der Unschärferelation überein. i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv