Big Bang 7, Schulbuch

102 RG 7.2 G 7.2 Kompetenzbereich Theorienentwicklung Die Mandelbrotmenge Fortsetzung von Seite 101 Die Mandelbrotmenge (Fortsetzung von S. 101) Die mathematische Beschreibung klingt etwas nüchtern: Die Mandelbrotmenge ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die Folge komplexer Zahlen c, z 0 , z 1 , z 2 , … mit dem Bildungsgesetz z n+1 : = z n 2 + c beschränkt bleibt, das heißt, der Betrag der Folgeglieder wächst nicht über alle Grenzen. c ist der Startwert. Die grafische Darstellung erfolgt in der komplexen Ebene (Abb. 37.20). Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi. a ist der Realteil, b der Imaginärteil der Zahl und es gilt i 2 = –1. Die Addition zweier komplexer Zahlen erfolgt so: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Mit sich selbst multipliziert wird eine komplexe Zahl so: (a + bi) · (a + bi) = (a 2 – b 2 ) + (2ab)i. In Abb. 37.20 ist die Entwicklung für zwei verschiedene Startwerte eingezeichnet. Bei c = –0,4 + 0,5 i konvergiert die Folge, und dieser Startpunkt ist somit Teil der Mandelbrot- menge. Bei c = 0,4 + 0 i läuft die Folge ins Unendliche. Die- ser Startpunkt gehört daher nicht zur Mandelbrotmenge. Ein Augenschmaus wird es, wenn man zusätzliche Farben verwendet (Abb. 37.19, S. 101). Man berechnet, nach wie vielen Iterationen der Betrag von Real- oder Imaginärteil zum Beispiel 2 überschreitet, und vergibt dafür eine be- stimmte Farbe. In den prachtvollen Bildern kann man auch ohne Mathematik Chaos und Ordnung erkennen. Die Ordnung ist offensichtlich. Besonders beeindrucken die „kleine Mandelbrotmengen“, die bei starken Vergrößerun- gen auftauchen. Das Chaos offenbart sich darin, dass es unvorhersagbar ist, ob ein Punkt des Randes Teil der Man- delbrotmenge ist oder nicht. Man kann es nur ausprobie- ren. Der horizontale Durchmesser des letzten Bildes be- trägt nur mehr 5 · 10 –8 . Eine Winzigkeit entscheidet also, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der Menge liegt – schwaches Kausalitätsprinzip in Reinkultur. i Abb. 37.20: Die Mandelbrotmenge in der Ebene der komplexen Zahlen und die Entwicklung der Folge bei zwei verschiede- nen Startwerten (Pfeile) Chaotische Systeme Wie wurde der Planet Neptun entdeckt? L Jedes Ereignis wird durch ein anderes Ereignis ausgelöst, das durch ein noch früheres Ereignis ausgelöst worden sein muss und so weiter. Wie hat das also alles angefangen? L Manche Satelliten befinden sich in den Lagrange- Punkten. Was versteht man darunter? L Überprüfe mit einem Tabellenkalkulationsprogramm Abb. 37.18, S. 101 und erstelle weitere Diagramme, indem du P 0 und k veränderst. Überprüfe die Ent- wicklung der Zahlenfolge in Abb. 37.20. Startpunkt: a = –0,4, b = 0,5. L Wenn du mit einer Videokamera einen Bildschirm filmst, auf dem wiederum das Bild der Kamera zu sehen ist (Abb. 37.21), dann kannst du chaotische Bilder erzeugen. Man kann das Chaos immer wieder in Schwung bringen, indem man zum Beispiel mit der Hand ins Bild greift. Baue das Magnetpendel in Abb. 37.22 nach und untersuche sein chaotisches Verhalten! Filme dazu die Pendelbahn von oben und vergleiche leicht unterschiedliche Ausgangsbedingungen! 37 F12 W1 F13 E1 F14 W1 F15 E2 F16 E2 Abb. 37.21: Mit einer Videokamera, die einen Fernseher filmt, der ihre Bilder zeigt, kann man Chaos produzieren. F17 E2 Abb. 37.22 links: Pendel und Magnete; rechts: Mög- liche Bahn des Pendels Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv