Big Bang 7, Schulbuch

Chaotische Systeme 37 RG 7.2 G 7.2 Kompetenzbereich Theorienentwicklung 101 Wenn das Wachstum nicht beeinflusst wird, es also genug Nahrung und keine Feinde gibt, dann kann man die Popula- tion von Jahr zu Jahr so berechnen: P n+1 = k · P n . Dabei ist k der Wachstumsfaktor . Ist er kleiner 1, stirbt die Population aus. Ist er genau 1, bleibt die Größe immer gleich. Ist er größer als 1, wächst sie. Wenn der Wachstumsfaktor zum Beispiel 2 ist, dann verdoppelt sich die Population jedes Jahr. Es ist klar, dass das nicht immer so weiter gehen kann. Aus 100 Raupen würden nach 24 Jahren bereits über einer Milliarde und nach 260 Jahren rund 10 80 Raupen. Dies ist deshalb absurd, weil das der Anzahl der Atome im sicht- baren Universum entspricht! Der belgische Mathematiker V ERHULST entwickelte 1845 eine realistischere Gleichung: P n+1 = k · P n · (1 – P n ). Die Angabe der Populationsgröße erfolgt relativ, wobei 1 der größtmög- liche Wert ist. Der gegenläufige Term (1 – P n ) entspricht dem eingeschränkten Nahrungsangebot bei steigender Raupen- zahl. Diese simple Gleichung führt bei starkem Wachstum ins Chaos . Dann kann schon ein klitzekleiner Unterschied in der Raupenzahl nach einigen Jahren eine komplett andere Populationsgröße hervorrufen (Abb. 37.18 unten). Schmetter- lingseffekt bei Raupen – sehr passend! Info: Die Mandelbrotmenge Abb. 37.18: Oben und unten betragen die Startwerte 0,1 beziehungs- weise 0,101. Sie liegen nur 1% auseinander, also zum Beispiel 100 und 101 Raupen. Bei k = 3,4 (oben) sind die Kurven praktisch deckungsgleich, bei k = 4 laufen sie nach 6 Jahren völlig ausein- ander (vergleiche mit Abb. 37.8, S. 97). Eine einzige Raupe mehr zu Beginn führt dazu, dass die Population nach 13 Jahren fast völlig ausgerottet ist. Die Mandelbrotmenge Wenn von chaotischen Systemen die Rede ist, dann darf die wunderschöne Mandelbrotmenge nicht fehlen, die erstmals 1980 von B ENOÎT M ANDELBROT computergrafisch dargestellt und untersucht wurde. Sie ist zwar eher eine mathematische Spielerei, aber nichts zeigt den Zusammenhang zwischen Ordnung und Chaos prachtvoller als sie (Abb. 37.19). i Abb. 37.19: Zoomfahrt in die Mandelbrotmenge: Das zwölfte Bild ist rund 62-millionenfach vergrößert. Egal, wie stark gezoomt, die Struktur ist immer zerklüftet und selbstähnlich. Info: Fortsetzung auf S. 102 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv