Big Bang Physik 6, Schulbuch

28  RG 6.1, G 6.2 Schwingungen Ort g tägliche Abweichung Graz 9,8070m/s 2 0 s Wien 9,8086m/s 2 +7s Pol 9,832m/s 2 +110 s Äquator 9,780m/s 2 –119 s Mond 1,63m/s 2 –14h 10min Tab. 18.1:  Gangungenauigkeit in Abhängigkeit von der Erdbeschleuni­ gung für eine Pendeluhr, die auf Graz abgestimmt ist (+ bedeutet schnelleren Gang) Der große Verdienst GALILEIs war die Erkenntnis, dass die Pendelmasse für die Schwingungsdauer keine Rolle spielt . Diese Entdeckung ist uneingeschränkt richtig! Aber in einem Punkt irrte Galilei. Er dachte nämlich, dass die Schwin- gungsweite keinen Einfluss auf die Schwingzeit hat. Das ist aber nicht richtig. Bei kleinen Winkeln, wie etwa bei einem leicht schwingenden Kirchenluster oder beim Pendel einer Uhr ist diese Abweichung winzig und so gut wie nicht zu bemerken (Abb. 18.6 und Tab. 18.2). Das erklärt auch, warum sie dem kritischen Blick Galileis entging. Nur bei wirklich großen Auslenkungen kann man eine Abweichung feststel- len . Was hast du bei deinem Experiment herausgefunden? Auslenkung in Grad Abweichung vom berechneten Wert in % und in Sekunden pro Minute 5°  0,05% +0,03 s 10°  0,2% +0,1 s 23°  1% +0,6 s 68° 10% +6 s 90° 19% +13 s Tab. 18.2:  Detaildaten zur Abb. 18.6: Bis zu einer Auslenkung von 23° beträgt die Abweichung der Schwingungsdauer weniger als 1%, was in einer Minute nur einen Fehler von 0,6 s verursacht. Die rechte Spalte bezieht sich auf die Ungenauigkeit pro Minute bei einer ungedämpften Schwingung. Abb. 18.6:  Verlängerung der Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Auslenkung in %: Die Angaben beziehen sich auf ungedämpf- te Schwingungen. Bummeltempo Du kannst die Schwingungsdauer jedes beliebigen Objekts berechnen. Du musst dazu allerdings die Drehmasse ( I ; siehe Kap. 17.2, S. 13) und den Abstand d zwischen Dreh- punkt und Körperschwerpunkt (KSP) kennen. Die Gleichung für die Schwingungsdauer lautet dann folgendermaßen: T  = 2 p  ​ Ö  ____ ​  I  ____  mgd ​​ Für einen punktförmigen Gegenstand ist die Drehmasse md 2 . Wenn du das oben einsetzt, dann bekommst du logi- scher Weise wieder die Gleichung für das mathematische Pendel. Rechne nach! Wie ist es aber, wenn die Masse nicht auf einen Punkt konzentriert ist? Nehmen wir als Beispiel einen schwingenden Stab (Länge = l ). Dieser hat eine Drehmasse von ( ml 2 )/3 (siehe Tab. 17.1, S. 13). Der KSP eines solchen Stabs befindet sich in der Mitte. d ist daher l /2. Das setzen wir oben ein und bekommen: T  = 2 p  ​ Ö  ____ ​  I  ____  mgd ​​ = 2 p  ​ Ö  _____ ​  ml 2 _____  3 mg ​ l  __  2 ​  ​​= 2 p  ​ Ö  ___ ​  ​ 2  __ 3 ​ l __ g ​​ Ein Stab von einem Meter Länge hat also dieselbe Schwin­ gungsdauer wie ein mathematisches Pendel mit 2/3m Län- ge. Damit können wir das Bummeltempo abschätzen (siehe auch Kap. 5.2, „Big Bang 5“). Wenn du bummelst, dann lässt du das Bein einfach schwingen und spannst die Muskeln praktisch nicht an. Nehmen wir vereinfacht an, dein Bein verhält sich wie ein 1m langer Stab. Ein Schritt ist eine hal- be Schwingung, und die Schwingungsdauer beträgt daher: T Schritt  = p  ​ Ö  ___ ​  ​ 2  __ 3 ​ l __ g ​​= p  ​ Ö  ___ ​ 2  l  ___  3 g ​​ = 0,8 s Wenn du das Bein ohne Anstrengung schwingen lässt, dann dauert ein Schritt also 0,8 s. Wenn dein Schritt 0,7m lang ist, ergibt das eine Geschwindigkeit von v = s / t = 0,7m/0,8 s = 0,88m/s oder rund 3km/h . Das Bein eines kleinen Kinds hat bei 1/2m Länge eine Schwingungsdauer von 0,58 Sekunden. Für das Bummel- tempo ergibt das 0,6m/s rund bzw. 2,2 km/h. Rechne nach! Kleine Kinder machen daher schnellere Schritte, kommen aber trotzdem langsamer vorwärts ( F4 ). i Abb. 18.7:  Ein Bein mit 1m Länge hat eine Schwingungsdauer wie ein mathemati- sches Pendel mit 2/3m Länge. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv