Big Bang Physik 6, Schulbuch

Lösungen  123 Lösungen zu den Aufgaben in den Kapiteln F33 Bei Afrikanern ist das Fersenbein tatsächlich oft länger als bei Europäern. Für einen Sprinter ist das allerdings sogar ein Nachteil! Warum? Der Wadenmuskel muss zwar die 2,5fache Kraft aufbringen, dafür bewegt sich aber auch der Fußballen 2,5-mal so schnell wie das Fersenbein. Der Sinn der Fußkonstruktion ist es daher, auf Geschwindigkeit zu übersetzen. Für einen Sprinter ist es daher eher von Vorteil, ein kurzes Fersenbein zu besitzen – vorausgesetzt, er kann mit dem Wadenmuskel die dann erforderliche höhere Kraft erzeugen. Die Dominanz der farbigen Sprinter ist wohl auf den hohen Prozent- satz an schnell zuckenden Muskelfasern zurückzuführen. Ein längeres Fersenbein hat nur dann Sinn, wenn man es nicht eilig hat, aber – wie in Afrika – große Strecken zurücklegen muss. Der Kraftaufwand pro Schritt wird dadurch geringer und die Ökonomie größer. F34 Wenn sich die Drehmasse halbiert, dann verdoppelt sich die Winkelgeschwindigkeit. Der Drehimpuls bleibt dadurch gleich. Was bedeutet das für die Drehenergie? Diese ist proportional zu I ω 2 . Eine Halbierung von I und Verdopplung von ω bedeutet daher eine Verdopplung der Gesamtenergie. Wo kommt die zusätzliche Energie her? Aus der chemischen Energie in den Muskeln der Läuferin! F35 Um die Drehmasse zu berechnen, nimmt man zunächst an, dass der rotierende Gegenstand aus vielen kleinen Teilen besteht. Seine kinetische Energie ist dann E k = ​  m 1 v 1 2 ____ 2 ​+ ​  m 2 v 2 2 _____  2 ​+ ​  m 3 v 3 2 _____  2 ​ … Nun ersetzt man die Tangentialgeschwindigkeit durch v i = ω  · r i und erhält E k = ​  m 1 w 2 r 1 2 ______  2  ​+ ​  m 2 w 2 r 2 2 ______  2  ​+ ​  m 3 w 2 r 2 3 ______  2  ​ … Wenn man heraushebt, ergibt sich E k = ​ 1  __ 2 ​​ ∑  ​  ​ m i  r i 2 ​= ​ 1  __ 2 ​ I w 2 I ist daher ​ ∑  ​  ​ m i  r i 2 ​ F36 Die erforderliche Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt beträgt v = ​ Ö  __ gr​ Die Geschwindigkeit hängt aber gleichzeitig immer von der Fallhöhe h ab, und zwar mit der Gleichung v = ​ Ö  ____ 2 gh​ Man kann daher gleichsetzen und nach h auflösen: h = r /2. Generell muss also mindestens 0,5 Radien über dem Looping gestartet werden. Im konkreten Fall sind das 1,5m über dem Looping bzw. 7,5m über dem Boden. F37 Für die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich m w 2  r = mg Û  90 w 2 = 10ms –2 Û w = ​ Ö  ___ ​ 10  __ 90 ​ ​s –1 = ​ 1  __ 3 ​s –1 Das bedeutet für die Umlaufzeit T : w = ​ 2 p  ___ T ​ Þ T = ​ 2 p  ___  w ​ = 18,85s Die Winkelgeschwindigkeit muss zur Erzeugung einer normalen Schwerkraft 1/3s –1 sein, das ergibt eine Umlaufzeit von knapp 19 Sekunden. Die Schwerkraft wäre aber anders, als in der Fernseh­ serie Star Trek dargestellt, weil sie nach außen wirken würde. Die Köpfe der Insassen würden also zueinander zeigen (wie in Abb. 17.52 rechts, S. 22). Außerdem würden bei Bewegung unangenehme Corioliskräfte auftreten. F38 Je nach Geschwindigkeit beträgt die Coriolisbeschleunigung nur 10 –5 bis 10 –3 g , ist also verschwindend klein. Einige Leute schwören darauf, dass sich die Wirbel in allen Abflüssen auf der nördlichen Hemisphäre gegen den Uhrzeigersinn drehen. Tatsache ist aber: Das Wirbeln in eine Richtung ist bedingt durch so unkontrollierbare Faktoren wie Form des Abflusses oder die Richtung, in die der Stöpsel herausge- zogen wird, restliche Wirbel vom Einlaufen des Wassers, Luftströmun- gen über dem Wasser oder Form und Lage des Beckens, sodass die Corioliskraft selbst wohl kaum einen Einfluss hat. Auch bei der asymmetrischen Abnutzung von Eisenbahnschienen handelt es sich um eine Ente. Die geringste Abweichung der Gleisverlegung von der Horizontalen (um 0,1mm) oder die leiseste Kurve (Kurvenradius etwa 200km!) haben einen stärkeren Effekt auf die Asymmetrie der Abnutzung. Bei der Erosion der Flussufer gehen die Meinungen auseinander. Immerhin kann das Wasser eines 1km breiten, in N-S-Richtung fließenden Stroms tatsächlich am rechten Ufer bis zu 1cm höher stehen als am linken. Sind Bodenwellen vorhanden, so wäre es denkbar, dass sich der Fluss nach rechts an sie heranarbeitet und die Flussufer somit asymmetrisch erodieren. F39 Die Gleichung für die Geschwindigkeit lautet allgemein v = ∆ s / ∆ t . Bei einer Kreisbewegung entspricht der zurückgelegte Weg dem Kreisbogen ∆ b , also v = ∆ b / ∆ t . Der Kreisbogen berechnet sich aus ∆ b = r · ∆ j (siehe Abb.). Außerdem gilt ω = ∆ j / ∆ t . Daraus folgt: v = ​  ∆ s  __ ∆ t ​ = ​  ∆ j  ___  ∆ t ​ = r w 18 Grundlagen der Schwingungen F2 Die Masse hat keinen Einfluss. Wenn du stehst, dann wird aber die effektive Pendellänge geringer, und du schaukelst schneller. Am Mond wäre auf Grund der geringeren Anziehung das Schaukeln relativ langweilig. F14 Weil die Frequenz (fast) nicht von der Auslenkung abhängig ist. F19 Es scheint eigentlich so, als wäre es im Alltag viel wichtiger, dass Schwingungen gedämpft sind, bei Schwingtüren, Autos, Zügen, Straßenbahnen oder bei Gebäuden aller Art. Eine ungedämpfte Schwingung wäre bei einer mechanischen Uhr günstig, weil man diese dann niemals aufziehen müsste. F22 Wenn man stark Gas gibt, führt das nur dazu, dass sich die Räder noch tiefer eingraben. Man kann aber das Auto aus den Mulden „schau- keln“. Man gibt kurz Gas, das Auto rollt ein wenig aus der Mulde und wieder zurück. Am tiefsten Punkt gibt man wieder Gas und so weiter. Wenn das Gasgeben in der Eigenfrequenz der Schaukelbewegung erfolgt (Resonanzfrequenz), kann man die Bewegung immer mehr verstärken – bis man frei ist. F27 Das Rauschen des Meeres in einer Muschel kommt nicht vom Meer (und auch nicht vom eigenen Trommelfell), sondern von den Geräuschen der Umgebung. Die Muschel verstärkt jene Geräusche, die in ihrer Resonanzfrequenz schwingen. Du kannst auch in einem Staubsaugerrohr das Meer rauschen hören. Wenn du die Länge des Rohres veränderst, dann verändert das Rauschen seine Höhe: Je länger das Rohr, desto tiefer der Ton. Die Schwingung des Trommelfells kann man nicht hören, weil diese einfach viel zu leise ist. F29 In der Position in Abb. 17.37 ist der Ring verkantet und die Reibung zwischen Ring und Stange so groß, dass der Specht haftet. Wenn man ihn in Schwingungen versetzt, dann kippt der Ring hin und her und kann für kurze Zeit rutschen, ehe er wieder haftet. Dadurch ruckelt der Specht langsam die Stange hinunter. F36 Durch die Gezeitenkraft wird bei Springflut tatsächlich mehr Flüssigkeit in die Pflanzen gezogen – allerdings auch bei Neumond! F42 Harmonische Schwingungen entstehen, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ( x ) ist. In diesem Fall gilt das Hooke’sche Gesetz F = k·x (siehe Kap. 7.4.3, „Big Bang 5“), wobei k die Feder- konstante ist. Weiters gilt das 2. Newton’sche Axiom F = m·a (siehe Kap. 7.3, „Big Bang 5“). Die Beschleunigung a ist wegen der engen Verwandtschaft der harmonischen Schwingung zur Kreisbahn die Zentripetalbeschleunigung a = w 2  · x (siehe Kap. 17.6). Dabei ist w = 2 π / T . Wenn man nun gleichsetzt, erhält man k·x = m · w 2  · x und für die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung gilt: T  = 2 p  ​ Ö  __ ​  m  __  k  ​​ Diese Gleichung gilt allgemein und auch speziell für das Federpendel. F43 Bei einer Auslenkung j wirkt auf die Pendelmasse eine rücktreibende Kraft F T = mg ·sin j (siehe Abb.). Bei kleinen Auslenkungen gilt sin j ≈ j und somit F T = mg · j = mg  ​  x _  l ​ = kx mit k = ​  mg ___  l ​ Die rücktreibende Kraft ist bei kleiner Schwingungsweite proportional zur Auslenkung. Das Pendel führt daher eine harmonische Schwingung aus (siehe Kap. 18.3). Wenn man nun für k einsetzt, erhält man für die Schwin- gungsdauer eines Fadenpendels T  = 2 p  ​ Ö  ____ ​  m  ___  ​  mg ___  l ​  ​​ = 2 p  ​ Ö  __ ​  l  __  g ​ ​ F44 Ewig lange! Je besser die Übereinstimmung ist, desto weiter auseinander liegen die Schwebungen. Auch wenn die Schwebungen eine Minute auseinander liegen, sind sie immer noch da. Um eine perfekte Stimmung zu bekommen, braucht man ewig lang Zeit. Abb. 4 Abb. 5 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv