Big Bang HTL 4, Schulbuch

Lösungen 201 a: Radioaktivität tritt ohne äußere Einwirkung auf. Aus klassischer Sicht ist es unmöglich, dass das α -Teilchen der Kernkraft entkommt, denn es kann nicht von selbst über die Potenzialbarriere gelangen (Abb. 15.21). Das wäre so, als würde ein Apfel von selbst aus einer tiefen Schale springen! Im Rahmen der Quantenmechanik ist die Erklärung aber über den Tunneleffekt mit Hilfe der Wellenfunktion möglich. Diese sinkt außerhalb der Potenzialbarriere nicht auf null ab. Daher gibt es auch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen außerhalb befinden kann. b: Beim Zerfall des U-228-Kerns wird mehr Energie freigesetzt als bei U-238. Das freie α -Teilchen aus dem U-228-Kern trägt diese Energiediffe- renz mit sich und hat daher „im Freien“ mehr Energie als das α -Teilchen aus dem U-238-Kern. Es muss nur eine geringere Energiemenge „auslei- hen“ und hat daher eine höhere Tunnelwahrscheinlichkeit. Im Gegensatz zu α - und β -Zerfall, bei denen Nukleonen zerfallen, zerfällt beim γ -Zerfall nichts. Dabei gibt ein Nukleon nur seine über- schüssige Energie in Form eines energiereichen Photons ab. An der Position auf der Nuklidkarte ändert sich aber nichts. Bei Reaktion a sind die Massen der Zerfallsprodukte in Summe kleiner als die des Neutrons. Ein Neutron hat 1,675·10 –27 kg. Die Zerfallsproduk- te haben 1,673·10 –27 kg + 9,109·10 –31 kg + 10 –33 kg ≈ 1,674·10 –27 kg. Die restlichen 0,001·10 –27 kg werden über E = mc 2 als Energie frei. Bei Reaktion b sind die Massen der Zerfallsprodukte in Summe jedoch größer als die des Protons. Ein Proton hat 1,673·10 –27 kg. Die Zerfallspro- dukte haben 1,675·10 –27 kg + 9,109·10 –31 kg + 10 –33 kg ≈ 1,676·10 –27 kg. Es fehlt also eine Masse von etwa 0,003·10 –27 kg. Wenn sich das Proton im Atomkern befindet, kann es die fehlende Masse über E = mc 2 aus der überschüssigen Energie des Kerns bekommen. Wenn die Masse der Protonen größer wäre als die der Neutronen, dann könnten freie Protonen spontan zu Neutronen zerfallen. Protonen sind aber nichts anders als Wasserstoffkerne. Wenn alle Protonen zu Neutro- nen zerfallen, dann könnte auch kein Wasserstoff existieren und die Sterne hätten keinen Brennstoff. Die Sterne würden nicht leuchten, und es könnten auch keine höheren Elemente entstehen. Schlechte Aussich- ten für Leben im Universum! a: 12 Stunden entsprechen 43.200 Sekunden. Wenn ein Liter Milch mit 380 Bq strahlt, dann sind das in Summe 1,64·10 7 Zerfälle. Die Energie von 1 MeV entspricht 1,6·10 –19 J·10 6 = 1,6·10 –13 J. Die gesamte an den Körper abgegebene Energie beträgt daher in den 12 Stunden 1,6·10 – 13 J·1,64·10 7 = 2,62·10 –6 J. Wenn das Kind 20kg hat, dann wird es (gleich- mäßige Verteilung vorausgesetzt) mit 1,31·10 –7 Gray (J/kg) belastet. Die relative biologische Wirkung von β -Strahlung liegt bei 1. Daher ergibt sich für die zusätzliche Belastung rund 10 –7 Sv. b: Die Gesamtbelastung beträgt 365·10 –7 Sv/Jahr ≈ 3,7·10 –5 Sv/Jahr = 3,7·10 –2 mSv/Jahr. Das ist im Vergleich mit den rund 4,3mSv an durch- schnittlicher Strahlungsbelastung immer noch sehr wenig. Diese Angabe ist unvollständig und daher nicht sinnvoll. Es muss auch immer die Menge angegeben werden, weil die doppelte Menge natür- lich auch doppelt so stark strahlt. Die Tabelle zeigt die Leistungsabgabe beider Varianten. Variante B startet zwar mit halber Leistung, diese sinkt aber langsamer ab. Bereits nach zwei Jahren sind die Leistungen gleich, nach 6 Jahren ist sie bei Variante B bereits 16-mal so groß. Deshalb sollte man diese wählen. Jahr 1 2 3 4 5 6 rel. Leistung A 1 1/4 1/16 1/64 1/256 1/1024 rel. Leistung B 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 Tab.: Relative Leistungen bei den Varianten A und B a: Endprodukt 7 α -Zerfälle 4 β - -Zerfälle Ausgangselement Protonenzahl 82 + 14 – 4 92 Neutronenzahl 125 + 14 + 4 143 Nukleonenzahl 207 + 28 – 235 Das Ausgangsprodukt ist 92 235 U. b: Schwere Kerne brauchen einen größeren Neutronenüberschuss, um gegen die abstoßende Coulombkraft der positiven Protonen eine Stabilität des Kerns zu erzielen. Leichte labile Kerne brauchen diesen Überschuss nicht, sie besitzen etwa gleich viele Neutronen wie Proto- nen. Zerfällt ein schwerer Kern durch α -Zerfall, so werden 2 Protonen und 2 Neutronen abgegeben. Die relative Neutronenzahl (das Verhältnis Anzahl der Neutronen zu Anzahl der Protonen) wird dadurch größer. Überprüfe dies an einem selbst gewählten Beispiel. Um diese zu hohe Neutronenzahl abzubauen, werden durch β - -Zerfälle überschüssige Neutronen in Protonen umgewandelt. F16 F17 F18 F19 F20 F21 F22 F23 Variante a) zeigt einen Schwellenwert: Es gibt eine Minimaldosis; darunter bewirkt eine Dosis keine biologische Veränderung. Dieses Modell entspricht der Analogie, dass etwa Licht, genauer gesagt die Photonen, eine bestimmte Mindestenergie haben muss, um in einem Molekül eine Änderung bewirken zu können. Variante b) ist eine lineare Fortsetzung des bekannten Bereichs. Ein Argument für dieses Modell besteht darin, dass die lineare Fortsetzung etwa auf den Nullpunkt trifft. Es gibt keinerlei experimentellen Beweise, ob neben den Modellen a und b nicht genauso Variante c oder d in der Natur realisiert sein kann. Wenn man allerdings Empfehlungen beziehungsweise Richtlinien für den Umgang mit radioaktivem Material abgeben muss, muss man bei Unkenntnis des genauen Sachverhalts von der für den Menschen ungünstigsten Lage ausgehen: Man muss aus Sicherheitsgründen ein Modell ähnlich c) verwenden. 16 Energie aus den Atomkernen 12 Stunden entsprechen 43.200 Sekunden. Wenn ein Liter Milch mit 100Bq strahlt, dann sind das in Summe 4,32·10 6 Zerfälle. Hat ein β -Teilchen 1 MeV (= 1,6·10 –13 J), beträgt die gesamte an den Körper abgegebene Energiemenge 6,9·10 –7 J. Hat der Mensch 75kg, dann sind das 9,2·10 –9 J/kg bzw. Gray (siehe Kap. 15.1.4). Die relative biologische Wirkung von β -Strahlung liegt bei 1. Daher ergeben sich für die zusätzli- che Belastung 9,2·10 –9 Sv, also rund 9 Nanosievert. Im Vergleich mit der jährlichen Belastung von 4,3 mSv ist das verschwindend klein. Das Vernichten der Milch nach der Tschernobyl-Katastrophe war also wirklich eine sehr große Vorsichtsmaßnahme. Die Oberfläche einer Kugel ist 4 r 2 π . Die Erde hat einen Radius von 6,37·10 6 m und somit eine Oberfläche von 5,1·10 14 m 2 . Weil 2/3 der Oberfläche von Wasser bedeckt sind und dieses eine durchschnittliche Tiefe von 3km hat, beträgt das „Meervolumen“ etwa 10 18 m 3 und seine Masse 10 21 kg. Wasser hat eine Molmasse von 18g (18·10 –3 kg). Im Meer befinden sich daher etwa 5,6·10 22 Mol Wasser und somit etwa 3,4·10 46 Moleküle und 6,8·10 46 Wasserstoffatome. Deuterium hat eine relative Häufigkeit von 1,5·10 –4 . In den Meeren befinden sich daher etwa 10 43 Deuterium-Atome. Pro Deuteriumatom werden bei der Fusion 7,2MeV frei. Das macht für alle im Meer befindlichen Deuteriumatome: 10 43 ·7,2·10 6 ·1,6·10 –19 J = 1,2·10 31 J Die Energie reicht daher theoretisch für t = 1,2· 10 31 J _______ (10 13 J/s) = 1,2·10 18 s = 38·10 9 Jahre. Die Energie würde also noch 38 Milliarden Jahre ausreichen, viel länger, als die Sonne noch brennt. a: Darunter versteht man die potenzielle Energie eines einzigen Elekt- rons, wenn dieses im Spannungsfeld von 1 V verschoben wird. Seine Energie beträgt dann E p = 1,6·10 –19 C·1 V = 1,6·10 –19 J = 1eV. b: Deuterium ( 1 2 H) hat eine Masse von 2,01410u. Proton, Neutron und Elektron haben in Summe 1,00728u + 1,00867u + 0,00055u = 2,0165u. Beim „Zusammenbauen“ wird also eine Masse von 0,0024u bzw. 100·(0,0024u/2,01410u) = 0,119% frei. Die atomare Masseneinheit u hat den Wert 1,66054·10 –27 kg. Der Massendefekt beträgt absolut 0,0024·1,66054·10 –27 kg = 3,985·10 –30 kg. Er entspricht der Bindungs- energie des Deuterons, weil man diese aufwenden muss, wenn man die Nukleonen wieder trennen will. Somit ist ∆ E = ∆ mc 2 = 3,985·10 –30 ·9·10 16 J ≈ 3,6·10 –13 J, und das entspricht umgerechnet 2,24·10 6 eV. c: Der Massendefekt der schweren Kerne liegt bei etwa 0,8 bis 0,9% und ist somit noch einmal um eine Größenordnung größer als der von Deuterium. Wenn die Bindungsenergie von Molekülen einige eV betra- gen kann, dann ist die Bindungsenergie von Kernen auf jeden Fall um den Faktor 10 6 größer. Daher sind Kernumwandlungsprozesse auch wesentlich energiereicher als chemische Prozesse. Atomkraftwerke haben einen sehr hohen Erntefaktor. Das ist klarerwei- se Wasser auf den Mühlen der Atomkraftbefürworter. Natürlich sind die Probleme bei der Lagerung der alten Brennstäbe und die Gefahr von Atomunfällen aus dieser Tabelle nicht herauszulesen. Günstig sind auch Wasser- und Windkraftwerke. Zusätzlich sind sie auch relativ umwelt- schonend. Schlecht schneiden momentan noch die Solarzellen ab, weil sie einen relativ geringen Erntefaktor und zusätzlich eine relativ lange Amortisationszeit aufweisen. a: Je kleiner die Energie der Protonen, desto kleiner ist auch die Tunnel- wahrscheinlichkeit. Warum? Weil sich dann die Teilchen auf Grund der abstoßenden elektrischen Kraft nicht so stark nähern können. Wenn die Energie etwa von 5,8 auf 2,9 keV absinkt, sich also halbiert, halbiert sich auch der Abstand x , auf den sich die Protonen nähern können. Die Tunnelwahrscheinlichkeit sinkt dabei aber nicht auch auf die Hälfte ab, sondern etwa um einen Faktor 10 –5 . Die Tunnelwahrscheinlichkeit hängt also sehr stark vom erreichten Abstand der Protonen ab. F24 F11 F12 F14 F15 F16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv