Big Bang HTL 4, Schulbuch

200 Lösungen Meistens wird der Teilchenspin mit der Analogie eines kleinen rotieren- den Balls erklärt. Du musst dir aber im Klaren sein, dass das nur eine bildliche Hilfskonstruktion ist. Der Ort eines Quants ist generell „un- scharf“, und Quanten können daher auch keine kleinen rotierenden Bälle sein. Man kann ihnen zwar einen Drehimpuls zuordnen, aber sowie es das Bild des rotierenden Teilchens suggeriert, ist es ganz sicher nicht. Leider gibt es kein besseres Bild davon. Der Hausverstand sagt, dass ∆ x ≤ x sein muss. Zum Beispiel ist die Angabe, in der runden Box befinden sich 200 ± 20 Kugeln, sinnvoll. Die Angabe 200 ± 210 Kugeln ist sinnlos, weil ja dann zwischen –10 und 410 Kugeln in der Box wären, und was soll man sich unter –10 Kugeln vorstellen? Ähnlich ist es mit Impuls und Impulsunschärfe. Die Impuls- unschärfe kann nie größer werden als der eigentliche Wert. Daraus folgt aber, dass mit dem Wachsen der Unschärfe zwangsläufig auch der Impuls wachsen muss (Kap. 13.1). Dafür gibt es aber leider keine Analogie mit Kaugummikugeln. 14 Licht als Träger von Energie Nehmen wir vereinfacht an, dass die ausgesendeten Photonen eine durchschnittliche Frequenz von 5,5·10 14 Hz haben (siehe Tab. 12.1). Nach E = hf haben sie daher eine Energie von etwa 3,6· 10 19 J. 10 W ent- sprechen 10 J/s. Bei einem geschätzten Wirkungsgrad von 20% ist die Lichtleistung daher 2 J/s, und dafür braucht man 5,5·10 18 Photonen pro Sekunde, also 5,5 Trillionen Photonen. Beachtlich! Die Leuchtstoffröhre! Das liegt daran, dass eine Glühbirne 95% der elektrischen Energie in Wärme umwandelt und nur 5% in Licht. Bei einer Leuchtstoffröhre werden immerhin rund 20% in Licht umgewan- delt. Bei gleicher Leistung gibt also eine Leuchtstoffröhre wesentlich mehr sichtbares Licht ab als eine Glühbirne. Beim Zusammenstoß mit den fließenden Elektronen des elektrischen Stroms wird ein Elektron im Orbital vorwiegend in den niedrigsten angeregten Zustand gebracht. Bei Neon ist dieser Zustand nicht meta- stabil, bei Helium schon. Würde man nur Neongas nehmen, könnte man keine Inversion erzeugen. Der Vorteil des blauen Lasers ist seine kürzere Wellenlänge. Daher können die Daten wesentlich dichter auf die optischen Datenspeicher geschrieben werden. Auf eine DVD (arbeitet mit rotem Laser) passen 4,7GB, auf eine Blu Ray (arbeitet mit blauem Laser) immerhin 25GB. Dass sich der Mond durch die Gezeitenreibung jedes Jahr rund 3,8cm von der Erde entfernt. Photonen sind Bosonen! Wären sie Fermionen, dann könnte es ja kein Laserlicht geben, denn dieses besteht aus völlig identischen Lichtteil- chen, die sich in beliebig großer Zahl an einer bestimmten Stelle befinden können – das können nur Bosonen. a: Um die ausgesendeten Photonen pro Sekunde zu berechnen, nehmen wir vereinfacht an, dass alle Photonen im mittleren Frequenzbereich um 5,5·10 14 Hz liegen. Ein einzelnes Photon hat daher die Energie E = 6,6·10 –34 Js·5,5·10 14 s –1 = 3,6·10 –19 J. Es gilt 1W = 1J/1s. Für die Sonne ergeben sich sagenhafte 10 26 J/(3,6·10 –19 J pro Photon) ≈ 3·10 44 Photonen pro Sekunde. b: Die Sonne befindet sich etwa 11 Milliarden Jahre auf der Hauptreihe. Das entspricht 11·10 9 ·86.400·365s ≈ 3,5·10 17 s. In Summe strahlt sie daher in dieser Zeit 3,5·10 17 s·3·10 44 Photonen/s ≈ 10 62 Photonen aus. a: Aus E = h·f folgt ∆ E = h· ∆ f. Außerdem folgt aus ∆ E · ∆ t ≈ h /13 wieder- um ∆ E ≈ h /(13· ∆ t ). Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man ∆ f ≈ 1/(13· ∆ t ). Wenn man ∆ t mit 10 –8 s annimmt, ergibt sich für ∆ f etwa 10 7 s –1 . Weil die Frequenz selbst aber bei mindestens 10 14 s –1 liegt, fällt diese Ungenauigkeit nicht ins Gewicht. b: Die Lichtgeschwindigkeit c beträgt 3·10 8 m/s. Daher gilt s = c·t = 3·10 8 m/s·10 –8 s = 3m. Dieser 3m lange Wellenzug entspricht dem Photon. Ein Beispiel für ein mechanisches System, das drei Energiestufen einnehmen kann, ist ein auf dem Boden liegender Quader, in diesem Fall eine Zündholzschachtel. Abb. 12 : Modell für ein System mit drei Energiestufen: links: Grundzustand; Mitte: erster Anregungszustand; rechts: zweiter Anregungszustand F17 F18 F1 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 Aus den Anregungszuständen kann die Schachtel umfallen und dabei Energie abgeben (man kann das Umfallen hören). Aus dem ersten Anre- gungszustand kann es in den Grundzustand umfallen, aus dem zweiten Anregungszustand kann es in den ersten Anregungszustand oder den Grundzustand zurückfallen. Dünne Gase erzeugen Linienspektren. Wenn man den Druck erhöht, dann beeinflussen einander die einzelnen Atome und somit auch die Energieniveaus in den Orbitalen. Die Linien beginnen auseinander zu fließen. Unter extrem hohem Druck, wie er zum Beispiel in Sternen herrscht, sind die Linien so verbreitert, dass ein kontinuierliches Spek- trum entsteht. Plausibel wird die Speckle-Entstehung, wenn man die Unebenheiten der beleuchteten Oberfläche als neue Streuzentren betrachtet. Von diesen gehen Kugelwellen unterschiedlicher Phase aus, die dann auf der Netzhaut interferieren. Dabei entsteht eine räumliche Struktur mit zufällig verteilten Intensitätsminima und -maxima. Die Voraussetzung für das Auftreten von Speckle-Mustern ist, dass die Oberfläche Rauhei- ten in der Größenordnung der Wellenlänge des Laser-Lichts aufweist (bei sichtbarem Licht: einige 100 nm). Bei extrem glatten Flächen tritt das Speckle-Muster daher nicht oder kaum auf. Damit an einer bestimmten Stelle zum Beispiel immer ein heller Streifen entsteht, müssen dort die Lichtwellen der beiden Lampen immer konstruktiv (oder bei einem dunklen Streifen immer destruktiv) interferieren. Wenn wir die Polarisation einmal außer Acht lassen, ist das nur möglich, wenn die ankommenden Wellenzüge zu jeder Zeit dieselbe Wellenlänge und Phase haben, also dieselbe Lage von Bergen und Tälern. Dazu braucht man aber kohärentes Licht, das allerdings von einer normalen Lampe nicht ausgestrahlt wird. Mit zwei Lasern könnte man den in Abb. 14.24 dargestellten Effekt tatsächlich erzeugen. Aller- dings würden die hellen und dunklen Streifen so nahe beieinander liegen, dass man sie mit freiem Auge trotzdem nicht sehen könnte. 15 Radioaktivität Es gibt viele Möglichkeiten das festzustellen. Eine davon ist mit Hilfe von Uran-238. Dieses zerfällt über viele Zwischenschritte in Blei-206 (siehe Abb. 15.12). U-238 hat eine Halbwertszeit von 4,468·10 9 Jahren (Tab. 15.2), d.h. nach dieser Zeit ist die Hälfte von U-238 zerfallen und dafür eine genau gleich große Menge an Th-234 entstanden. Erst nach 13 weiteren Zerfällen mit unterschiedlich langen Halbwertszeiten entsteht nach insgesamt rund 4,5·10 9 Jahren Pb-209. Und genau das kann man in Gesteinsproben messen. Es gibt aber andere, zum Teil sehr komplizierte Messmethoden, die alle zu sehr ähnlichen Ergebnissen führen. Neben den klassischen Zerfällen, die in allen Büchern zu finden sind, gibt es auch andere Fälle. Spontane Nukleonenemission: Atomkerne mit sehr hohem Protonen- überschuss können ein Proton abgeben, Atomkerne mit hohem Neutronenüberschuss können Neutronen abgeben. Beispiel: 2 5 He → 2 4 He + 0 1 n Clusterzerfall: Statt einzelner Nukleonen oder Helium-4-Kerne werden in sehr seltenen Fällen auch größere Atomkerne emittiert. Beispiel: 97 247 Bk → 91 235 Pa + 6 12 C (Bk = Berkelium; Pa = Protactinium) Warum kommt die Emission von Heliumkernen mit Abstand am häu- figsten vor? Weil sie auf ihre Masse bezogen eine enorm große Bin- dungsenergie aufweisen und der Prozess daher energetisch sehr günstig ist. Beim inversen β -Zerfall wird aus Proton und Elektron ein Neutron. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn ein Neutronenstern entsteht (siehe Kap. 18.3). Das kann man nur mit Hilfe der Energieunschärfe ∆ E · ∆ t ≥ h /13 erklären. Das Proton „leiht“ sich die nötigen 1,8MeV und bekommt sie aus dem Massendefekt des Kerns wieder zurück. Der β -Zerfall deutet darauf hin, dass Neutronen und Protonen keine fundamentalen Teilchen sind. Tatsächlich bestehen sie aus Quarks (siehe Kap. 17.2.2). Die Abbildung zeigt schematisch die Wellenfunktion Ψ (Psi; siehe Kap. 12.4) eines α -Teilchens. Diese sinkt außerhalb des Potenzialtopfs nicht auf null ab. Das Quadrat des Betrages dieser Funktion, also | Ψ | 2 , nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einer bestimmten Stelle anzutreffen, ist proportional zu | Ψ | 2 und auch außerhalb nicht null. Daher gibt es eine gewisse Wahr- scheinlichkeit, dass das α -Teilchen den Kern verlassen kann. F19 F20 F21 F8 F9 F10 F11 F12 F13 Abb. 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv