Big Bang HTL 4, Schulbuch

Lösungen 199 12 Welle und Teilchen Rote Lichtphotonen haben über den Daumen nur halb so viel Energie wie blaue (siehe Tab. 12.1). Sie sind daher nicht in der Lage, das Fotopa- pier chemisch zu verändern und somit zu schwärzen. Elektronen haben auch Welleneigenschaften. Deshalb kann man sie ganz ähnlich wie Lichtwellen verwenden. Anstelle von Linsen ver- wendet man jedoch Spulen. Wegen ihrer geringen Wellenlänge haben Elektronen ein viel besseres Auflösungsvermögen als Photonen und liefern daher extrem detaillierte Bilder. Der Abstand der hellen Streifen ist direkt proportional zur verwendeten Wellenlänge: Je kleiner die Wellenlänge, desto kleiner der Abstand, desto schwieriger sind diese zu messen. Im Grunde ist ein Teilchenbeschleuniger etwas Ähnliches wie ein Elektronenmikroskop. Damit man eine gute „Auflösung“ bekommt, braucht man kurze Wellenlängen. Dazu muss man die Teilchen sehr stark beschleunigen und benötigt daher dementsprechend große Teilchenbeschleuniger. Es gibt viele Erhaltungssätze, die durch die Entstehung von Teilchen aus dem Nichts nicht verletzt werden dürfen. Einer davon ist, dass die Ladung in einem abgeschlossenen System immer konstant sein muss. Wenn ein Elektron (–) und ein Positron (+) entstehen, dann bleibt die Gesamtladung erhalten. Würden aber zum Beispiel zwei Elektronen entstehen, dann würde sich die Nettoladung verändern, und das ist nicht möglich. Aus diesem Grund können immer nur Teilchen-Antiteil- chen-Paare entstehen, weil diese entweder elektrisch neutral sind oder gegengleich geladen. Rechnen wir in Größenordnungen und nehmen für deine Masse etwas hoch gegriffen 10 2 kg an. Die Tür soll eine Breite von 1 m haben, was gleichzeitig auch ∆ x entspricht. Für die Geschwindigkeitsunschärfe ergibt sich dann: v ≥ h _____ 4 π m ∆ x = 6,6·10 −34 _______ 4 π ·100·1 m/s ≈ 10 –38 m/s Diese Geschwindigkeitsunschärfe ist zu vernachlässigen und für dich im Alltag auch nicht bedrohlich. v ≥ h _____ 4 π m ∆ x = 6,6·10 −34 __________ 4 π ·10 −30 ·10 −6 m/s ≈ 50 m/s Die Geschwindigkeitsunschärfe nach dem Durchgang durch den Spalt ist 10-mal so groß wie die Geschwindigkeit des Teilchens. Die weitere Bahn ist überhaupt nicht vorherzusagen. In diesem Fall ergibt die Rechnung eine Unschärfe von etwa 5· 10 –5 m/s. Das Teilchen fliegt also mehr oder weniger gerade weiter, allerdings in dem breiten Korridor von 1 m. Auch hier kann man schwer von einer Bahn sprechen (vergleiche mit F15 ). Für die Geschwindigkeits-Ort-Unschärfe ergibt sich: ∆ v · ∆ x ≥ h ____ 4 π m = 5·10 –38 Js kg –2 = 2,2·10 –19 m/s·2,2·10 –19 m Die Unschärfen für ∆ v und ∆ x liegen also zahlenmäßig im Bereich von 10 –19 . Bei großen Objekten ist die Messgenauigkeit also nicht durch die Unschärferelation begrenzt, sondern nur durch messtechnische Probleme. Die Energie von Photonen ergibt sich aus E = hf (Kap . 12.2 ). Aus der Relativitätstheorie ergibt sich für Photonen weiters der Zusammenhang E = pc (dabei ist p der Photonenimpuls). Weiters gilt c = f · λ . Wenn man diese drei Gleichungen kombiniert, erhält man: λ = c _ f = E/p ___ E/h = h __ p De Broglies kühne, aber später bestätigte Hypothese war es, dass der Zusammenhang λ = h/p nicht nur für Photonen gilt, sondern auch für Materieteilchen. a: Aus der Abbildung ergibt sich sin α = ∆ s / a und tan α = x / d . Weil der Schirm sehr weit weg ist, kann man die Annäherung für kleine Winkel anwenden, also sin α ≈ tan α . Daraus folgt x ≈ ( s · d )/ a . Ein Maximum auf dem Schirm findet man gerade dann, wenn der Gangunterschied s der beiden Wellen λ beträgt. Für den Ort des ersten Nebenmaximums ergibt sich damit x max = d · λ ___ a . Für die Maxima der n-ten Ordnung ergibt sich allgemein x maxn = n · d · λ _____ a . b: Aus F20a folgt x max ~ λ . Weil die Wellenlängen, die man Materieteilchen zuordnen kann, teilweise sehr klein sind, sinkt dadurch auch der Abstand der Helligkeitsmaxima. F5 F6 F7 F8 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 Abb. 10 Bei der Ausbreitung von Licht ist in diesem Fall die Energie nicht kontinuierlich über den Raum verteilt, sondern in einer endlichen Zahl von Energiequanten lokalisiert. Licht ist also ein Strom von Energie- paketen. Bei gleicher Frequenz bedeutet intensiveres Licht das Auftre- ten von mehr Lichtquanten pro Zeiteinheit, aber nicht das Auftreten von energiereicheren Photonen. Abb. 11 : Licht mit geringerer (a) und höherer Intensität (b) im Teilchenmodell Damit man eine Struktur in der Größe von 10 –16 m untersuchen kann, muss die Wellenlänge in derselben Größenordnung liegen. Wenn man die erste Gleichung nach p umformt ( p = h/ λ ) und in die zweite einsetzt, erhält man E = hc / λ . Wenn man die bekannten Werte einsetzt, erhält man für E = 6,6·10 –34 ·3·10 8 /10 –16 J ≈ 2·10 –9 J = 13·10 9 eV = 13 GeV. Als man die Quarkstruktur der Protonen belegte, verwendete man Elektronen mit einer Energie von 20 GeV – man ging also auf Nummer sicher! a: Gehe von der Gleichung ∆ E · ∆ t ≥ h __ 13 aus. Damit ein virtuelles Teilchen aus dem Nichts entstehen kann, ist zumindest die Energie ∆ E = mc 2 nötig. Wenn du oben einsetzt und nach ∆ t auflöst, erhältst du ∆ t ≥ h _____ 13 mc 2 . Die Obergrenze für die Geschwindigkeit, die ein Teilchen erreichen kann, ist c . Aus c = ∆ s / ∆ t folgt ∆ s = c · ∆ t ≤ h ____ 13 mc . b: Aus ∆ s ≤ h ____ 13 mc folgt m ≥ h _____ 13 ∆ sc . Daraus folgt m ≥ 6,6·10 −34 ___________ 13·10 −18 ·3·10 8 kg = 1,7·10 −25 kg. Die Masse dieser virtuellen Bosonen ist also rund 100-mal so groß wie die der Protonen! c: Diese Einheit ergibt sich durch Umformen aus der Gleichung E = mc 2 . Daraus folgt m = E / c 2 . Für die Energie setzt man aber nicht Joule ein, sondern das Elektronvolt (eV). Es gilt: 1eV = 1,6·10 –19 J. d: Ein GeV entspricht 1,6·10 –19 J·10 9 = 1,6·10 –10 J. Wenn man in m = E / c 2 einsetzt, erhält man m = 1,6·10 –25 kg/(3·10 8 m/s) 2 = 1,44·10 –8 J/ c 2 = 9·10 10 eV/ c 2 = 90GeV/c 2 . 13 Das moderne Atommodell Wenn du die Gesamtenergie berechnest und differenzierst, erhältst du: E = h 2 ______ 32 m π 2 r 2 − e 2 ___ 4 π e 0 r = r − 2 · h 2 ____ 32 m π 2 − r − 1 · e 2 ___ 4 π e 0 d E __ d r = − 2 r − 3 · h 2 ____ 32 m π 2 − ( −r − 2 ) · e 2 ___ 4 π e 0 = e 2 ____ 4 π e 0 r 2 − h 2 _____ 16 m π 2 r 3 = 0 Weil der Ausdruck 0 ergibt, kann man durch 1/ r 2 kürzen und erhält d E __ d r = e 2 ___ 4 π e 0 − h 2 _____ 16 m π 2 r = 0. Daraus folgt weiter e 2 ___ 4 π e 0 = h 2 _____ 16 m π 2 r und r = h 2 e 0 _____ e 2 4 m π ≈ 8,6·10 −12 m (Anm.: Normalerweise wird der Bohr’sche Radius mit 0,53·10 –10 m angegeben und entspricht dem Maximum der radialen Wahrscheinlich- keitsdichte des Elektrons.) Der Radius des Wasserstoffatoms ergibt sich aus r = h 2 e 0 ____ e 2 4 m π . Somit ist r ~ h 2 . Wenn h um den Faktor 10 größer oder kleiner wäre, dann wäre der Radius um den Faktor 10 2 = 100 größer oder kleiner. Dadurch würden sich das Volumen und somit auch die Dichte der Atome um den Faktor (10 2 ) 3 = 10 6 verändern. Das Wirkungsquantum verleiht der Materie also nicht nur sein Volumen, seine Größe bestimmt auch empfindlich den gesamten Aufbau der Materie und somit auch des Universums. Entlang einer bestimmten Richtung ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron genau im Kern anzutreffen, tatsächlich am größten. Der Kern hat aber ein extrem kleines Volumen. Dadurch wird die Aufenthalts- wahrscheinlichkeit P = | Ψ | 2 · ∆ V ebenfalls extrem klein. Abb. 13.18 a sagt daher paradoxerweise nichts darüber aus, wo man ein Elektron bei einem gegebenen Experiment tatsächlich am ehesten finden wird. Sinn- voller ist eher die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo im Abstand r zu finden, genauer gesagt in der Kugel- schale zwischen r und r + d r ? Das ist in Abb. 13.18 b dargestellt. Man erhält dabei eine Funktion, die bei einem bestimmten r ein Maximum hat und im Atomkern Null ist – also ein komplett anderes Ergebnis. Der Ort des Maximums entspricht genau dem Bohr’schen Atomradius. Wenn man im ganzen Raum des Orbitals misst, wo sich das Elektron befindet, und nicht nur in eine Richtung, dann wird man es am öftesten im Bereich des Bohr’schen Atomradius antreffen und niemals exakt in der Mitte. Abb. 14.18 b gibt also die Verhältnisse besser wieder. Aus P = 4 r 2 ___ a 0 3 · e – 2 r ___ a 0 folgt d P __ d r = 2 · 4 r ___ a 0 3 · e – 2r ___ a 0 + 4 r 2 ___ a 0 3 · ( 2 ___ a 0 ) · e – 2r ___ a 0 = 0 8 r __ a 0 3 · e – 2r ___ a 0 − 8 r 2 ___ a 0 4 · e – 2r ___ a 0 = 0 8 r __ a 0 3 · e – 2r ___ a 0 = 8 r 2 ___ a 0 4 · e – 2r ___ a 0 1 = r __ a 0 ⇒ r = a 0 F20 F21 F22 F13 F14 F15 F16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv