Big Bang HTL 4, Schulbuch

198 Lösungen Aus t b = t r √ _____ 1 − v 2 __ c 2 folg t t b __ t r = √ _____ 1 − v 2 __ c 2 . Die Geschwindigkeit von 108km/h entspricht 30m/s. Berechnen wir zuerst nur den Faktor v 2 __ c 2 = ( v _ c ) 2 . Durch Einsetzen der Werte erhält man ( v _ c ) 2 = ( 3·10 1 ____ 3·10 8 ) 2 = ( 10 −7 ) 2 = 10 −14 . Der Wert unter der Wurzel beträgt also 1–10 –14 . Die meisten Taschenrechner haben nicht genug Stellen und zeigen daher den Wert 1 an. Man kann aber die Rechnung zum Beispiel auf einem Smartphone, in Excel oder mit dem Windows-Taschenrechner in der wissenschaftlichen Anzeige berechnen. Dann erhält man für t b / t r den Wert 0,999999999999995. Aus F15 folgt t b __ t r = 0,999999999999995. Andererseits soll gelten t b – t r = 1 s. Es gilt daher 0,999999999999995· t r – t r = 1 s und somit t b ·(0,999999999999995 - 1) = t r ·0,000000000000005 = t b ·5·10 –15 = 1 s. Für t r erhält man daher 1 s/5·10 –15 = 2·1014 s. Weil ein Jahr 60·60·24·365 s = 3,15·10 7 s hat, beträgt die benötigte Zeit 2·10 14 s/(3,15·10 7 s pro Jahr) = 6,34·10 6 Jahre. Du müsstest also über 6 Millionen Jahre unterwegs sein, damit der Effekt eine mickrige Sekunde beträgt. Ohne SRT (klassisch): Welche Strecke fliegen die Myonen in der Halb- wertszeit? Es gilt s = v·t . Die Strecke beträgt daher 0,995·3·10 8 m/s·1,5·10 –6 s = 447,75m ≈ 450m. Die Strecke zur Erde (10km) entspricht daher 10.000m/450m = 22,2 Halbwertszeiten. Es gilt daher N ( t) = N 0 · ( 1 __ 2 ) τ __ τ = N 0 · ( 1 __ 2 ) 22,2 = N 0 ·2,08·10 −7 . Es würde in diesem Fall also weniger als ein Millionstel der entstehenden Myonen auf der Erdoberfläche ankommen. Gälte die SRT nicht, könnte man also auf der Erdoberfläche praktisch keine Myonen messen. Mit SRT: Bei 0,995 c wächst die Halbwertszeit um den Faktor 1/ √ ______ 1 − v 2 / c 2 10 an. Die Halbwertszeit beträgt daher aus Sicht des ruhenden Beobachters, also aus Sicht der Erde, etwa 15µs. Welche Strecke fliegen die Myonen in der Halbwertszeit? 0,995·3·10 8 m/s·10·1,5·10 –6 s = 4477,5m ≈ 4500m. Die Strecke zur Erde (10km) entspricht daher 10.000m/4500m = 2,2 Halbwertszeiten. Es gilt N ( t ) = N 0 · ( 1 __ 2 ) 2,2 = N 0 ·0,22. Tatsächlich kommt also knapp ein Viertel (22%) aller Myonen auf der Erde an. Man kann daher um den Faktor 0,22/(2,08·10 –7 ) ≈ 10 6 mehr Myonen messen, als man aus nichtrelativistischer Sicht erwarten würde. a: Damit sich der Pfeil verkürzt, das Rohr aber seine Länge behält, musst du dich im Ruhesystem des Rohrs befinden. Die Geschwindigkeit des Pfeils muss so groß sein, dass er auf Grund der Lorentz-Kontraktion nur mehr 0,8m lang ist. Es gilt l b = l r √ ______ 1 − v 2 / c 2 und somit v _ c = √ ______ 1 − ( l b __ l r ) 2 = √ _____ 1 − 0,8 2 = 0,6. Wenn der Pfeil also mit 0,6 c durch das Rohr fliegt, dann schrumpft er auf 0,8m und passt für einen Moment exakt in das Rohr hinein. b: Ob der Pfeil in das Rohr passt oder nicht, hängt tatsächlich vom Bezugssystem ab. Aus der Sicht des Rohrs passt der Pfeil hinein (Abb. a), aus der Sicht des Pfeils ist das Rohr viel zu kurz (Abb. b und c). Das ist schon sehr verblüffend! Die „Geschichten“ gehen aber trotzdem gleich aus, wenn man die Relativität der Gleichzeitigkeit mit einbezieht. Wenn aus Sicht des Rohres die Fotos gleichzeitig gemacht werden (Abb. a), sind natürlich die Rohr- enden zu sehen. Aus Sicht des Pfeils werden die Fotos aber nicht zur selben Zeit gemacht! Aus seiner Sicht wurde das rechte Foto zuerst gemacht (Abb. b) und dann erst das linke (Abb. c)! Auch aus Sicht des Pfeils sind also die Rohrenden auf dem Foto zu sehen, und alles ist in Ordnung. Abb. 9: a) mitbewegter Beobachter b) ruhender Beobachter Die Abbildungen a) und b) zeigen, dass ein mitbewegter Beobachter die in der Mitte der Rakete ausgesandten Lichtblitze gleichzeitig am vorderen und am rückwärtigen Ende ankommen sieht. Für einen nicht mitbewegten Beobachter erreicht der Lichtblitz allerdings das rückwärtige Ende früher. Für unser Beispiel bedeutet dies, dass der relativ zur Wolke ruhende Beobachter sieht, dass der vordere und der rückwärtige Teil der Rakete für ihn gleichzeitig von der Wolke verdeckt sind. Für einen mitreisenden Beobachter sind auch vorderer und rückwärtiger Teil bedeckt, allerdings nicht zum (für ihn) gleichen Zeitpunkt. Für den mitreisenden Beobach- ter gibt es keinen Zeitpunkt, an dem die beiden Enden für ihn gleichzeitig bedeckt sind. F15 F16 F17 F18 Abb. 8 F19 11 Relativistische Masse und Energie Es gilt E k = m d c 2 – mc 2 = ( m d – m ) c 2 . Weiters gilt m d = m ______ √ _ 1 − v 2 __ c 2 oder als Reihe genähert: m d = m ( 1 + 1 __ 2 v 2 __ c 2 + 3 __ 8 v 4 __ c 4 + 15 __ 48 v 6 __ c 6 … ) Für v << c kann man die Reihe nach dem zweiten Glied abbrechen. Daher ergibt sich dann: E k = ( m d – m ) c 2 = ( m + m __ 2 v 2 __ c 2 − m ) c 2 = mv 2 ___ 2 Photonen existieren nur bei c . Man kann sie also nicht einfangen und in Ruhe betrachten. Man sagt daher, dass Photonen keine Ruhemasse besitzen. Die Masse, die man Photonen zuordnen kann, haben sie auf Grund ihrer Energie. Energie hat eine Masse! 1 eV = 1,6·10 –19 J. Die Bindungsenergie eines Deuterons beträgt daher 2,14·10 6 eV. Die Bindungsenergie von Kernen ist also um den Faktor 10 6 größer als die Bindungsenergie in Molekülen. Daher sind Kernumwand- lungsprozesse auch wesentlich energiereicher als chemische Prozesse. Zwischen Kraft und Impuls besteht folgender Zusammenhang (siehe NAWI I, Kap. 8.4): F = ma = m d v __ d t = d p __ d t In der relativistischen Mechanik ist aber die Masse nicht konstant. Daher gilt: F = m d v __ d t + v d m ___ d t Nehmen wir nun ein Proton, das schon eine sehr hohe Geschwindigkeit besitzt, sagen wir 0,99999 c . Das ist im LHC leicht zu erreichen. Weil die Geschwindigkeit nun praktisch nicht mehr zu vergrößern ist, kann man d v /d t = 0 setzen und für v = c einsetzen. Eine auf dem Weg d x = c d t auf das Proton wirkende Kraft F erhöht zwar nicht die Geschwindigkeit, aber Energie, Masse und Impuls: d E = F d x = c d m ___ d t c d t = c 2 d m Daraus folgt: ∫d E = c 2 ∫d m ⇒ ∆ E = c 2 ∆ m Wir gehen von der Gleichung der Lorentz-Kraft aus: F L = I·s·B . Für den Strom gilt: I = Q/t . Jedes Proton bewegt sich in der Zeit t um die Strecke s = v·t . Man erhält daher: F L = I·s·B = Q __ t v·t·B = Q·v·B . Damit das Teilchen auf einer Kreisbahn bleibt, muss die Lorentz-Kraft als Zentripe- talkraft wirken. Man kann diese beiden Kräfte daher gleichsetzen: F zp = mv 2 ___ r = F L = Q·v·B, und daraus folgt B = mv ___ Qr und B ~ m . Wenn die Protonen auf 0,999999991 c beschleunigt werden, wächst ihre Masse um den Faktor m D = m ______ √ _____ 1 − v 2 __ c 2 = 7454m an (Anm.: Für diese Rechnung brauchst du einen Taschenrechner, der viele Stellen anzeigen kann). Um diesen Faktor wird auch die Stärke der Magneten erhöht, sonst schaffen die Protonen die Kreisbahn nicht. Das ist eine glänzende Bestätigung für die relativistische Massenzunahme. Wo kommt die Masse her, um scheinbar aus dem Nichts Proton und Antiproton zu erzeugen? Die Masse war schon vorher da und steckte in der dynamischen Masse der aufeinander zurasenden Elektronen ( m de ). Welche Geschwindigkeit müssen diese mindestens haben? Wir nehmen die relative Elektronenmasse ( m e ) mit 1 an. Protonen- und Antiprotonen- masse sind 1836-mal so groß. Für die dynamische Elektronenmasse vor dem Stoß muss also gelten: m de ≥ m e + 1836 m e = 1837 m e . Die Elektronen müssen also zumindest auf eine solche Geschwindigkeit gebracht werden, damit ihre dynamische Masse um den Faktor 1837 wächst. Daraus folgt: m de ≥ 1837 m e = m e ______ √ _____ 1 − v 2 __ c 2 und somit 1837 = 1 ______ √ _____ 1 − v 2 __ c 2 sowie 1 ____ 1837 = √ _____ 1 − v 2 __ c 2 und v _ c ≥ √ _______ 1 − 1 ____ 1837 2 = 0,99999985. Die Elektronen müssen also mindestens auf 99,999985% der Lichtgeschwindigkeit gebracht werden, damit der Trick gelingen kann. Eine volle Standardbatterie Typ AA hat rund 9600 Coulomb. Bei 1,5V entspricht das E = Q·U = 1,44·10 4 J. Beim Entladen nimmt daher die Masse um lächerliche ∆ m = ∆ E ___ c 2 = 1,44·10 4 J _________ 9·10 16 m 2 /s 2 ≈ 1,6·10 −13 kg ab. F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv