Big Bang HTL 4, Schulbuch

Lösungen 197 a: Wenn man die allgemeine Gasgleichung umformt, erhält man k = pV ___ NT . Die Einheit der Boltzmann’schen Konstante ist daher: [ k ] = N ___ m 2 · m 3 ___ Mol _______ 1 ___ Mol K = Nm ___ K = J __ K b: Einerseits gilt pV __ T = nR , andererseits pV __ T = Nk . Für 1Mol ( n = 1) gilt daher R = Nk und k = R / N . Die allgemeine Gaskonstante R beträgt 8,3J/(Mol·K) ≈ 10J/(Mol·K). Ein Mol hat 6·10 23 Teilchen ≈ 10 24 Teilchen. Die Boltzmann’sche Konstante liegt daher in der Größenordnung 10/10 24 J/K = 10 –23 J/K. Genau sind es 1,38·10 –23 J/K. p __ T = konstant. Der Druck bei T 1 = 20 °C (293K) und T 2 = –20°C (253K) ist demnach p 2 = p 1 · T 2 __ T 1 = 101.300· 253 ___ 293 Pa = 87.500Pa. Die Kraft zum Öffnen der Tür ergibt sich aus der Druckdifferenz und der Türfläche: F = ( p 2 – p 1 )· A = 13.800·0,3N = 4140N. Diese Kraft ist so groß, dass die Tür von einem einzelnen Menschen nicht geöffnet werden kann. Beachte, dass diese Kraft unabhängig davon ist, wie groß die Metallbox ist; nur die Temperaturen und die Größe der Türfläche gehen in die Rechnung ein. p = n·R·T _____ V = (100/22,4)·8,31·293 ______________ 0,002 Pa = 5,4·10 6 Pa = 54bar Die thermische Zustandsgleichung ( p·V ___ T = konstant ) kann mit ρ = m __ V umgeschrieben werden: p 1 ____ ρ 1 · T 1 = p 2 ____ ρ 2 · T 2 . Die Dichterelation ist somit ρ 2 __ ρ 1 = p 2 · T 1 ____ p 1 · T 2 = 54.000·273 _________ 101.000·263 = 55. Das heißt, die Luftdichte ist um 45% geringer. V __ T = konstant. V 2 = V 1 · T 2 __ T 1 = 150· 291 ___ 258 m 3 = 169m 3 . Es sind also etwa 20m 3 Luft nach außen gedrängt worden. Nach der thermischen Zustandsgleichung gilt: p·V ___ T = konstant p 2 = p 1 · V 1 __ V 2 · T 2 __ T 1 = 2,5· 6 ___ 6,3 · 343 ___ 293 bar = 2,79 bar Da kein Wärmeaustausch erfolgt, gelten die Gesetze der adiabatischen Ausdehnung: p · V κ = konstant V 2 = V 1 · ( P 1 __ P 2 ) 1/ κ = 6,3· ( 2,79 ___ 1 ) 1/1,4 l = 13,1l 9 Relativitätsprinzip und Gleichzeitigkeit Nein! Beim GPS bestimmt man seine sich ändernde Position relativ zu den Satelliten, also zu etwas außerhalb des Flugzeugs. Du bestimmst also nicht deine absolute Geschwindigkeit, sondern die relative in Bezug auf die Satelliten. Von 1983 stammt die genaueste und momentan gültige Definition des Meters. Dabei gibt man die Zeit an, die das Licht benötigt, um die Strecke von einem 1 Meter im Vakuum zurückzulegen. Diese Zeit ist unglaublich kurz, nämlich 1/299792458tel einer Sekunde. Es gilt allge- mein Geschwindigkeit = Weg/Zeit. Weil man nun Weg und Zeit mit- einander verknüpft hat, ist somit auch die Lichtgeschwindigkeit defi- niert. Durch die Bewegung kommt es zu einer scheinbaren Verzerrung des Raums. Für ein sich extrem schnell bewegendes Raumschiff sind die Sterne daher nicht gleichmäßig verteilt, sondern erscheinen in dem Teil des Raums konzentriert, auf den es sich zubewegt (siehe Abb. 3). Optische Verzerrungen würden auch auftreten, wenn die beiden Grund- annahmen nicht richtig wären, weil sie der Effekt einer endlichen Lichtgeschwindigkeit sind. Weil sich jedes Signal maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann und somit die Reihenfolge von jedem System aus die gleiche sein muss. Ein Jahr hat 60·60·24·365s, also etwa 3,15·10 7 s. Ein Lichtjahr entspricht daher der Entfernung von etwa 3,15·10 7 s·3·10 8 m/s ≈ 10 16 m. Die Entfer- nung Milchstraße – Andromedanebel beträgt daher 2,5·10 22 m. 2 Milli- arden Jahre sind etwa 6,3·10 16 s. In diesem Fall beträgt die Relativge- schwindigkeit knapp 400km/s. Wenn man 4 Milliarden annimmt, dann beträgt die Geschwindigkeit immer noch rund 200km/s. F29 F30 F31 F32 F33 F34 F12 F13 F14 Abb. 3 F15 F16 F17 Ruhe und gleichförmige Bewegung sind äquivalent. Daher darf es auch keinen Unterschied machen, ob die Induktionsspannung durch die Bewegung des Magneten, die der Spule oder einer Kombination beider Bewegungen zu Stande kommt. Die Induktion ist ein elektromagnetisches Phänomen. Daher kann man sagen, dass die spezielle Relativitätstheorie Ruhe und Bewegung mit Elektrizität und Magnetismus vereint! a: Der Eintritt des Mondes Io in den Schatten Jupiters ist ein periodisch wiederkehrendes Signal (ähnlich wie eine Schall- oder Lichtwelle). Daher tritt auch bei Relativbewegung der Doppler-Effekt auf. Wenn sich die Erde dem Jupiter nähert (Abb. 9.18 A), werden die Verdunklungen etwas häufiger auftreten als 1¾ Tage. Das entspricht beim akustischen Doppler-Effekt einem höheren Ton. Wenn sich die Erde wieder entfernt (B), treten die Verdunklungen etwas seltener auf. Das entspricht einem niedrigeren Ton. Diese Verzögerungen addieren sich am entferntesten Punkt der Erdbahn zu 996 Sekunden, weil dann das Licht noch zusätz- lich den Erdbahndurchmesser durchlaufen muss. Wenn man diesen kennt, kann man c berechnen. b: Weil man aus den Verzögerungen der Umlaufzeit des Jupiter-Mondes Io wusste, dass das Licht zum Durchqueren der Erdbahn 996s benötigt, konnte man die Lichtgeschwindigkeit mit c = s/t = 3·10 11 m/996s = 3,01·10 8 m/s berechnen, was bereits auf etwa 1% mit dem heutigen Wert übereinstimmt. Die Antwort ist ja. Die Bewegung eines Lichtpunkts soll dadurch zu Stande kommen, dass eine Laserkano- ne auf eine Leinwand gerichtet ist und dann um einen bestimmten Winkel gedreht wird. Wenn die Spitze des Lasers den Weg x überstreicht, wandert der Lichtpunkt am Schirm um den Weg X weiter. Aus dem Strahlen- satz ergibt sich x : l = X : L , wobei l die Länge der Laserkanone und L der Entfernung zum Schirm ist. Daraus ergibt sich: X = L· x _ l Sind Bewegung des Lasers und damit des Lichtpunkts erfolgt in der Zeit T . Die Geschwindigkeit des Lichtpunkts ist damit v = X __ T = L· x ___ l·T . Sind x , l , T fix, so hängt die Geschwindigkeit des Lichtpunkts nur vom Abstand L des Schirms von der Lichtquelle ab. Da dieser beliebig groß gemacht werden kann, kann auch die Geschwindigkeit des Lichtpunkts beliebig groß werden und damit auch Überlichtgeschwindigkeit erreichen. Dies widerspricht nicht den Gesetzen der Relativitätstheorie, die besagen, dass sich kein mit Masse/Energie behaftetes Objekt schneller als Licht bewegen kann. Der Lichtpunkt ist weder mit Masse noch mit Energie versehen, die bei der Bewegung mitgeführt werden – er ist kein materielles Objekt. 10 Zeitdehnung und Raumschrumpfung Wenn du beide Achsen gleich skalierst, dann liegen die Punkte auf einem Viertelkreis (Abb. 5)! Überrascht!? Wir haben die Zeitdehnung ja mit Hilfe der Lichtuhr abgeleitet (Abb. 10.6, S. 103). Der Viertelkreis im Graph ist im Prinzip nichts anderes als das rechte obere Viertel der Kugelwelle. Du benötigst für die Fahrt 4,62h oder 16.615s. Wenn du mit einer Tabellenkal- kulation rechnest, ergibt sich eine Zeitdifferenz von winzigen 1,2·10 –10 s. Nein! Zwar sind schnell bewegte Objekte längenverkürzt, aber sehen kannst du das nicht. Das liegt an der Lichtlaufzeit. Die führt zu Verzer- rungen und hebt den Effekt der Verkürzung auf. In den Abbildungen in Kap. 9.2 wurde die Längenkontraktion bereits stillschweigend berück- sichtigt. Sehen kann man sie aber trotzdem nicht. Das beste Beispiel ist der Würfel in Abb. 9.10. Er sieht nicht verkürzt aus, allerdings eigenartig verdreht. Aus der Sicht der Pistole würde die Kugel schrumpfen und somit würde eine zu lose Führung entstehen. Aus Sicht der Patrone würde die Pistole schrumpfen und sie würde stecken bleiben. Aus der Sicht der Schienen würde der Zug geschrumpft erscheinen und nach innen entgleisen. Aus Sicht des Zugs würden die Schienen schrumpfen und er würde außen entgleisen. F18 F19 F20 Abb. 4 Abb. 5 F11 F12 F13 Abb. 6 F14 Abb. 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv