Big Bang HTL 4, Schulbuch

196 Lösungen Mit Ellens Methode kann man die meiste Energie sparen. Da die Umgebung kälter als das Haus ist, dringt fortlaufend Wärme vom Haus nach außen. Die nach außen gelangende Wärmemenge hängt von der Temperaturdifferenz ab. Je kühler das Haus also ist, desto weniger Wärme geht verloren. Dies kann durch Abschalten der Heizung während der Abwesenheit am besten erreicht werden. 1 __ U = 1 __ α a + d 1 __ λ 1 + d 2 __ λ 2 + 1 __ α i 1 __ U 1 = 1 __ α a + d 1 __ λ 1 + 1 __ α i , 1 __ U 2 = 1 __ α a + d 2 __ λ 2 + 1 __ α i ⇒ 1 __ U = 1 __ U 1 + 1 __ U 2 − 1 __ α a − 1 __ α i = 2,31m 2 ·K·W –1 , U = 0,43W·m –2 ·K –1 Ohne Dämmung wäre der Wärmestrom I 1 = U 1 · A · ∆ T = 1,4·150·(19 – 3)W = 3360W, mit Dämmung ist er I = U · A · ∆ T = 1032W. Die ersparte Wärmeenergie während der Zeit von 182 Tagen ist Q = ( I 1 – I )· ∆ t = 2328·24·182 Wh = 10,17 MWh, und die ersparten Kosten betragen K = 10,17·10 3 ·0,06 Euro ≈ 610,2 Euro. Analog F19 . 1/ k = 0,395m 2 ·K·W –1 ⇒ U = 2,5W·m –2 ·K –1 Die Oberfläche des Gefrierschranks beträgt A = 2·(0,8·0,5 + 0,8·0,6 + 0,5·0,6)m 2 = 2,36m 2 . Der Energiefluss I = U · A · ∆ T ist im Keller I Ke = 0,35·2,36·24 = 19,8W, in der Küche I Kü = 0,35·2,36·37 = 30,6W. Die Differenz, für einen ganzen Monat berechnet, ergibt D = (30,6 – 19,8)·24·30 = 7,8 kWh, bzw. in Geld D = 0,94 Euro pro Monat. I = λ · A __ d · ∆ T , daraus ergibt sich T a = T i – d · I ___ λ · A = 310 − 0,025·260 ________ 0,2·1,6 K = 290K 8 Die Gasgesetze Druck ist Kraft pro Fläche. Das Wasser drückt mit seinem Gewicht von oben auf das Blatt, der Luftdruck von unten. Weil der Luftdruck viel größer ist, bleibt das Blatt haften. Das Blatt würde auch noch dann halten, wenn das „Glas“ knapp 10m hoch wäre. Mit der allgemeinen Gasgleichung lässt sich das einfach berechnen. Es geht nur um das relative Volumen. Wir rechnen nur für 1mol. V = RT/p . Zu Beginn kommt das Molvolumen für 20 °C heraus, nämlich 24l. Pro 100m sinkt die Temperatur um 1 °C. Nehmen wir den Druckwert für 4810m. In dieser Höhe sind der Druck auf 56% und die Temperatur um 48 °C auf –28 °C gesunken. Für das Volumen ergibt das knapp 36l – der Ballon dehnt sich also aus. Es ist wie beim Autoreifen: Das Gerät zeigt dir den Druckunterschied an und nicht den absoluten Wert. Wenn der äußere Luftdruck 760 torr beträgt und das Blutdruckmessgerät 140torr anzeigt, dann beträgt der Blutdruck absolut 900torr. Man könnte meinen, dass er 10·30l, also 300 Liter verbraucht. Das ist aber falsch. In 30m Tiefe herrscht ein Druck von insgesamt 4bar. Während der Taucher an Land pro Minute 30l Luft in die Lungen atmet, sind es in 30m Tiefe 4-mal so viel, weil der Druck in den Lungen 4-mal so groß ist. Der Taucher verbraucht 1200l! Gase lassen sich zusammendrücken, kondensierte Stoffe fast nicht. Die Dichte von Gasen erhöht sich bei Druckzunahme, die von kondensierten Stoffen fast nicht. Gase dehnen sich bei Wärmezufuhr aus, kondensierte Stoffe fast nicht. Und schließlich: Der Zustand eines Gases ( p, V und T ) liegt fest, wenn die Werte von zwei Größen festliegen. Das ist bei kondensierten Stoffen nicht der Fall. Ein Kreis mit einem Durchmesser von 0,2m hat eine Fläche von etwa 0,03m 2 . 100 bar entsprechen 10 7 Pa oder 10 7 N/m 2 . Am Boden der Flasche wirkt daher eine Kraft von 10 7 ·0,03N = 300.000N. Das entspricht dem Gewicht eines 30-t-Sattelschleppers – und das auf dieser winzigen Fläche! Die Druckgleichung lautet p = 2 N ___ 3 V _ E kin und die allgemeine Gasgleichung: pV __ T = Nk Wenn du nun einsetzt und umformst, bekommst du: pV __ T = 2 N ___ 3 V _ E kin ·V _______ T = 2 N _ E kin _____ 3 T = Nk Die Teilchenzahl fällt logischerweise weg und du bekommst: _ E kin = 3 __ 2 kT Die mittlere kinetische Energie ist also proportional zur absoluten Temperatur. Oder, wie wir es in NAWI 1, Kap. 14.3 formuliert haben: Die absolute Temperatur ist ein Maß für die ungeordnete kinetische Ener- gie. Am Beispiel des idealen Gases ist das sehr schön zu sehen. F18 F19 F20 F21 F22 F5 F15 F19 F20 F21 F22 F23 Wir formen die Gasgleichung um: pV __ Tk = N Daraus folgt: nR ___ k = N Für 1 Mol ist daher die Teilchenzahl R/k , und das ergibt logischerweise wieder 6·10 23 Teilchen. Zur Berechnung benötigst du die Atommasse der beiden Elemente: C hat 12,011u und H hat 1,0079u. Für die Molmasse von Propan ergibt sich daher M = (3·12,011 + 8·1,0079)kg/kmol = 44,096kg/kmol. Mit Hilfe der Dichte kommt man auf M = 1,984·22,41kg/kmol = 44,46kg/kmol. Die Abweichung beträgt rund 0,8%. Helium hat eine Atommasse von 4,003u. Seine Molmasse beträgt daher 4,003kg/kmol bzw. 0,1785·22,41kg/kmol = 4,0002kg/kmol. Die Abweichung beträgt nur 0,07%. Propan zeigt eine deutliche Abweichung, Helium verhält sich beinahe ideal. a: Der Normaldruck beträgt 101.300Pa oder 101.300N/m 2 . Gewicht ist Masse mal Erdbeschleunigung, also G = m · g . Oder in Einheiten: [N] = [kg·m·s –2 ]. Umgekehrt ist daher die Masse Gewicht durch Erd- beschleunigung ( m = G / g ). In Einheiten [kg] = [N]/[m·s –2 ] = [kg·m·s –2 ]/ [m·s –2 ] = [kg]. Man kann daher aus dem Normaldruck sofort aus- rechnen, dass sich über 1m 2 Erdoberfläche eine Masse von 101.300N·9,81m/s –2 = 10.326kg Luft befindet. b: Die Gesamtkraft, die auf den Menschen wirkt, beträgt 101.300N/m 2 ·1,8m 2 = 182.340N. Das entspricht der Gewichtskraft einer Masse von etwa 18,6 Tonnen oder rund 19 Klein-PKWs oder 4 Elefanten. Warum ist das auszuhalten? Weil diese Kraft von allen Seiten wirkt und sich gleichmäßig auf den Körper verteilt. 4 Elefanten am Kopf würde man natürlich nicht aushalten. c: Die Oberfläche der Erde beträgt O = 4 r 2 π = 5,1·10 14 m 2 . Über jedem dieser Quadratmeter liegt eine Luftmasse von 10.326kg ( F27 a). Die Gesamtmasse der Atmosphäre beträgt daher etwa 5,3·10 18 kg. Es gilt p ~ T . Wenn die Temperatur nach der Abfüllung von 70 °C (343K) auf Zimmertemperatur (20 °C, 293K) sinkt, haben sich die absolute Temperatur und somit auch der Druck um 14,6% verringert. Wenn der Dosendeckel einen Radius von 5cm hat, dann ist seine Fläche rund 7,85·10 –3 m 2 . Der Normaldruck der Luft beträgt etwa 100.000N/m 2 . Weiters gilt: Druck ist Kraft pro Fläche, also p = F / A und somit F = p · A . Die Luft drückt also von außen mit einer Kraft von 785N auf den Deckel, aber von innen nur mit 671N. Der Deckel wird bei Zimmertemperatur also mit 114N auf die Dose gedrückt. Das ist so, als würden rund 11kg auf der Dose liegen, die du beim Aufschrauben mitheben musst. a: Moleküle können nicht nur Translations-, sondern auch Rotations- energie haben. Außerdem können auch ihre Bestandteile, also Atome, Ionen oder sogar Elektronen gegeneinander schwingen. Jede solche unabhängige Bewegungsmöglichkeit nennt man einen Freiheitsgrad. Die Anzahl der Freiheitsgrade hängt vom Aufbau der Moleküle ab. Für die Temperatur spielt aber nur die Translation eine Rolle, nicht die Rotation. Daher kann die zugeführte Energie in der Rotation quasi „versickern“ und wird nicht als Temperatur bemerkbar. b: Wie stark sich das Gas beim Komprimieren erwärmt, hängt davon ab, wie sehr sich die durchschnittliche kinetische Energie erhöht (siehe F28 a ). Ein Teil der Energie steckt nachher in der Rotationsenergie der Moleküle und wird nicht als Temperatur bemerkt. Deshalb sind die Temperaturerhöhung und somit der Wert γ von der Art des Gases abhängig. Beim adiabatischen Komprimieren entsteht Wärme, die den Druck des Gases erhöht. Daher liegt die Adiabate in diesem Bereich über den Isothermen (siehe Abb.). Beim Ausdehnen verlieren die Gasmoleküle an Energie und somit an Temperatur. Die Adiabate liegt in diesem Bereich unter der Isotherme. Abb. 2: strichliert: Isotherme, durchgezogen: Adiabate; p und V sind relativ angegeben. Werte unter V = 1 stellen die Komprimierung dar, Werte darüber die Expansion. F24 F25 F26 F27 Abb. 1 F28 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv