Big Bang HTL 4, Schulbuch

128 Thermodynamik und moderne Physik (IV. Jg., 8. Sem.) Bearbeite die Aufgaben! Das moderne Atommodell Die Gesamtenergie des Elektrons im Wasserstoffatom ist E = E k + E p . Die potenzielle Energie ergibt sich aus E p = − e 2 _____ 4 π e 0 r . Die kinetische Energie bzw. die Lokalisationsenergie ist E k = h 2 _____ 32 m π 2 r 2 (siehe Infobox Lokalisationsenergie, S. 123). Berechne den Atomradius des Wasserstoffatoms, indem du differenzierst und d E /d r = 0 setzt. L Überlege, wie sich die Atomradien und die Dichte der Materie verändern würden, wenn das Planck’sche Wirkungsquantum um den Faktor 10 größer oder kleiner wäre. Verwende für deine Überlegungen die Formel für r aus F13 . L In Abb. 13.18 siehst du bei a die Wahrscheinlichkeits- dichte des Elektrons im 1s-Orbital. Es ist eine eindimen- sionale Darstellung. Das Diagramm gibt also an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron bei einer Messung entlang einer bestimmten Richtung im Abstand r anzutreffen. Bei b ist die radiale Wahrschein- lichkeitsdichte eingezeichnet. Sie gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron in einer beliebigen Richtung in einem bestimmten Abstand r zum Kern anzutreffen. Anders gesagt: Es ist angegeben, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron in der Kugel- schale zwischen r und r + d r (d. h. ∆ V = 4 π r 2 d r ) anzu- treffen! Das Maximum dieser Funktion entspricht dem Bohr’schen Atomradius. Erkläre, wie der scheinbare Widerspruch zwischen diesen beiden Abbildungen zu erklären ist. Überlege, wo das Elektron nun eher anzutreffen ist: im Atomkern oder beim Bohr’schen Radius? L Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons im 1s-Orbital wird durch folgenden Ausdruck beschrieben: P = 4 r 2 ___ a 0 3 · e − 2 r __ a 0 . P ( ∆ r ) = P ( r ) ∆ r ergibt dann die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Bereich [ r – ∆ r, r + ∆ r ] anzutreffen. Dabei ist a 0 der Bohr’sche Radius. Zeige, dass bei diesem Radius das Maximum der Wahrscheinlichkeit liegt. Dazu musst du die Gleichung nach r differenzieren und null setzen. L Herbert Pietschmann schreibt in seinem Buch „Ge- schichten zur Teilchenphysik“ (Ibera 2007, S. 85) folgen- des: „In der Quantenwelt haben wir oft keine Wahl. Entweder wir machen uns gar keine Vorstellungen (was für optische Menschen schwierig ist), oder unsere Vorstellungen sind falsch. Der einzige Ausweg ist, sich eine falsche Vorstellung zu machen und immer dazuzu denken, wo sie falsch ist.“ Wende dieses Zitat auf den Elektronenspin an. L Nimm an, du willst über den Daumen abschätzen, wie viele Kugeln in Abb. 13.19 zu sehen sind, und du gibst das Ergebnis in x ± ∆ x an. Wie groß kann allgemein gesehen ∆ x im Vergleich zu x sein, damit deine Aussage noch sinnvoll ist? Es geht nur ums Prinzip, nicht um eine konkrete Zahl! Welcher Zusammenhang zur Quantenmechanik und besonders zur Lokalisations- energie besteht dabei? Abb. 13.19 13 F13 A1 F14 A2 F15 A2 Abb. 13.18: a) Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons im eindimensionalen Fall; b) radiale Wahrscheinlichkeitsdichte im dreidimensionalen Fall. F16 A1 F17 A2 F18 A1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv