Big Bang HTL 4, Schulbuch

Das moderne Atommodell 13 Thermodynamik und moderne Physik (IV. Jg., 8. Sem.) 125 Abb. 13.10: Der österreichische Nobelpreisträger E RWIN S CHRÖDINGER war gemeinsam mit dem Symbol Ψ für die von ihm entwickelte Wellenfunktion auf dem alten 1000-Schillingschein verewigt. Was passiert, wenn ein Elektron in diesem „Käfig“ gefangen ist? Ähnlich wie beim Seil bilden sich auch hier stehende Wellen aus. Wichtig: Nicht das Elektron schwingt, sondern die Wahrscheinlichkeitswelle. Das ist etwas völlig anderes. Das Elektron kann ja nicht schwingen, weil es dann Strah- lung aussenden müsste (siehe Abb. 13.3). Und wir wissen, dass es das nicht tut. Ähnlich wie bei der Saite sind auch bei der Wahrscheinlich- keitswelle nur ganz bestimmte Längen möglich, die genau zu den Abmessungen des Potenzialtopfs passen müssen. Je kürzer die Wellenlänge, desto höher die Energie des Elekt- rons. Das Elektron kann nur ganz bestimmte Energiezustän- de einnehmen. Man sagt daher auch, die Energie ist quanti- siert. Damit kann man die Linien im Wasserstoffspektrum erklären (siehe Kap. 14)! Abb. 13.11: Ein Elektron im „Quantenkäfig“: links die Wellenfunktion Ψ , die man mit der Schrödingergleichung berechnen kann. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitswelle; rechts die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte | Ψ | 2 . Je höher diese an einer bestimm- ten Stelle ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron bei der Messung dort anzutreffen. Verblüffend: Bei Oberwellen gibt es innerhalb der Box Orte mit der Wahrscheinlichkeitsdichte null. Dort wird man das Elektron niemals antreffen. Info: Quantisierte Energie Wenn man die Wellenfunktion Ψ des Elektrons kennt, dann kann man auch die Wahrscheinlichkeitsdichte | Ψ | 2 berech- nen (Abb. 13.11 rechts). Je höher diese an einer bestimmten Stelle ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Elektron tatsächlich dort anzutreffen. Dass bei der Grundwelle die größte Wahrscheinlichkeit in der Mitte liegt, scheint einleuchtend zu sein. Aber schon bei der ersten Oberwelle versagt unsere Intuition kläglich, denn die Wahr- scheinlichkeit, das Teilchen in der Mitte zu finden, ist bei dieser nämlich null (Abb. 13.11 rechts). Je kürzer die Wellen- länge ist, desto mehr solcher „verbotener“ Stellen tauchen auf. Das ist sehr verblüffend! Bis jetzt haben wir einen vereinfachten, eindimensionalen Fall betrachtet. Wie man sich die Grundwelle in drei Dimen- sionen vorstellen kann, zeigt Abb. 13.12. Das Elektron ist dann quasi in einem Potenzialwürfel eingesperrt (a) und es ergibt sich ein kugelförmiges Orbital (b–d). Je weiter man sich vom Atomkern entfernt, desto geringer wird die Wahr- scheinlichkeitsdichte. Abb. 13.12: Das einfachste Orbital, das 1s-Orbital, in verschiedenen Darstellungen: a) Wahrscheinlichkeitsdichte in den einzelnen Dimensionen im Potenzialwürfel, b) 3d-Wolke c) Zufallspunkte, d) Fläche Dass das Orbital mit der niedrigsten Energie, man nennt es das 1s-Orbital, kugelförmig sein muss, haben wir schon aus der Unschärferelation abgeleitet (siehe Abb. 13.7). Mit Hilfe der Wellenfunktion kann man aber auch die Orbitale be- rechnen, wenn sich das Elektron im angeregten Zustand be- findet. Die einzige Variation bei eindimensionalen stehen- den Wellen ist die, dass die Wellenlänge der Oberwellen Quantisierte Energie Mit Hilfe der de Broglie-Gleichung kann man einer Materie- welle auf Grund ihrer Wellenlänge einen Impuls zuordnen: p = h/ λ . Nun können sich aber im Potenzialtopf nur ganz bestimmte Wellenlängen ausbilden, nämlich immer nur Vielfache von λ / 2 (siehe Abb. 13.11). Wenn d die Breite des Potenzialtopfs ist, dann gilt d = n λ /2 und λ = 2 d/n . Das set- zen wir in die de Broglie-Gleichung ein und erhalten p = h __ λ = h ___ 2 d ___ n = n h ___ 2 d Nun besteht aber auch ein Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie und dem Impuls (siehe Kap. 13.2): E = p 2 ___ 2 m ⇔ E = ( nh ___ 2 d ) 2 _____ 2 m = n 2 h 2 ____ 8 d 2 m Je kürzer die Wellenlänge wird, desto größer wird die Ener- gie des eingesperrten Elektrons. Es gilt: E ~ n 2 . Das Elektron kann also nicht beliebige Energien haben, sondern nur ganz bestimmte. Man sagt daher: Die Energie des Elektrons ist quantisiert. i Nur zu Prüfzwecke – Eig ntum des Verlags öbv