Big Bang HTL 4, Schulbuch

Welle und Teilchen 12 Thermodynamik und moderne Physik (IV. Jg., 8. Sem.) 119 Abb. 12.14: Es gibt eine Mindestunschärfe, die man nicht verkleinern kann, und diese verhält sich wie die Fläche eines Rechtecks. Eine Verkleinerung einer Seite führt automatisch zu einer Vergröße- rung der anderen, aber die Fläche bleibt gleich groß. Die Unschärfe hat die Dimension Joule mal Sekunden, ge- nauso wie die Planck-Konstante h . Man bezeichnet diese Einheit auch als Wirkung . Deshalb nennt man h auch das Wirkungs quantum. Wir wissen heute, dass die Unschärfe- relation immer dann gültig ist, wenn das Produkt zweier Größen die Einheit einer Wirkung hat, wie das zum Beispiel auch bei Energie und Zeit der Fall ist. Diese Tatsache führt zu sehr erstaunlichen Effekten. Info: CLIL – Fluctuating Vacuum Einzelspalt 1 Eine Möglichkeit, die Unschärferelation qualitativ herzulei- ten , ist die klassische Version mit Hilfe eines Einzelspalts, durch den du ein Quant schickst. In dem Moment, wenn das Quant den Spalt passiert, kannst du den Ort bestim- men. ∆ kann man als Schwankung um einen Mittelwert auffassen. Die Spaltbreite entspricht daher ± ∆ x bzw. 2 ∆ x (Abb. 12.13), also der doppelten Ortsunschärfe. Je geringer diese ausfallen soll, desto kleiner musst du logischerweise den Spalt machen. Abb. 12.13: Je enger der Spalt wird, desto kleiner wird die Ortsunschärfe ∆ x (von a nach c). Gleichzeitig wird aber die Impulsunschärfe ∆ p größer. Das kannst du am Auseinanderlaufen der Helligkeitsver- teilung am Schirm erkennen. Weil das Verhalten des Quants durch die zugehörige Wahr- scheinlichkeitswelle bestimmt wird, erfolgt beim Durchgang Beugung. Diese Beugung fällt umso stärker aus, je enger der Spalt ist ( F12 ). Mit dem Verkleinern des Spaltes wächst also die Impulsunschärfe ∆ p . Das bedeutet: Je klei- ner die Ortsunschärfe ∆ x wird, desto größer wird die Im- pulsunschärfe ∆ p und umgekehrt. Es können aber nicht beide Unschärfen gleichzeitig verkleinert werden. i Formel: Heisenberg’sche Unschärferelation für Energie und Zeit ∆ E · ∆ t ≥ h __ 4 π ≈ h __ 13 ∆ E … Energieunschärfe [J] ∆ t … Zeitunschärfe [s] h … Planck’sches Wirkungsquantum [Js] h = 6,63·10 –34 Js Zusammenfassung Impuls und Ort eines Quants sind gleichzeitig nicht exakt bestimmbar. Das ist eine prinzipielle Eigenschaft der Natur. Eine Konsequenz daraus ist, dass man Quanten keine „Bahnen“ zuordnen kann, auf denen sie sich bewegen. Das hat große Folgen für das Atommodell. F Einzelspalt 2 Exakt lässt sich die Unschärferelation nur mit Hilfe der Wellengleichung herleiten. Es gibt aber eine einfache Her- leitung, die zumindest auf eine Größenordnung genau ist. Wir nehmen an, dass der Großteil der Teilchen zwischen den beiden ersten Beugungsminima auftrifft. Der Spalt soll die Breite d = 2 ∆ x haben. In der Literatur findest du, dass der Winkel, unter dem das erste Beugungsminimum auftritt, durch sin α = λ / d = λ /(2 ∆ x ) gegeben ist. Nach dem Durchgang durch den Spalt ist der Impuls in x -Richtung p x = 0 ± ∆ p x (siehe Abb. 12.13). Weites gilt tan α = ∆ p x / p y . Weil für kleine Winkel sin α ≈ tan α gilt, folgt daraus λ /(2 ∆ x ) ≈ ∆ p x / p y . Nun ist aber der Impuls eines Quants p = h / λ (siehe Kap. 12.3). Daher gilt λ /(2 ∆ x ) ≈ ∆ p x λ / h und daraus folgt ∆ x · ∆ p x ≈ h /2. Diese Gleichung stimmt im- merhin bis auf einen Faktor 2π mit der exakten Formulie- rung der Unschärferelation überein. i CLIL – Fluctuating vacuum Even the law of conservation of energy is blurred from the quantum mechanical point of view and the vacuum is not a real vacuum. The uncertainty for energy and time allows for a particle-antiparticle pair to emerge out of nowhere, and a short time later it is annihilated. It is first so to say energy “lent” and then “repaid”. Since the particles exist only very briefly, they are called “ virtual particles ”. How long do they exist? Let us take an electron and its anti- particle, a positron . They have a mass of around 2 · 10 –30 kg. According to the famous equation E = mc 2 an energy of 2 · 10 –13 J has to be borrowed. For ∆ t this results in a time of the order of 10 –22 seconds. This is really very short. Even with the speed of light, the particles would only reach 10 –13 m. This is far less than an atomic diameter (10 –10 m). i Z Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv