Big Bang HTL 4, Schulbuch

112 Thermodynamik und moderne Physik (IV. Jg., 8. Sem.) Eine große Überraschung Die dynamische Masse lautet (Kap. 11.1): m d = m ______ √ ____ 1 − v 2 __ c 2 Nun kann man den Ausdruck 1 _____ √ _ 1 – x mit folgender Reihe annähern: 1 + 1 __ 2 x + 1 · 3 ___ 2 · 4 x 2 + 1 · 3 · 5 _____ 2 · 4 · 6 x 3 + … Auf m d angewendet ( also wenn man x durch v 2 __ c 2 ersetzt ) : m d = m ( 1 + 1 v 2 ___ 2 c 2 + 3 v 4 ___ 8 c 4 + 15 v 6 ____ 48 c 6 + … ) Nun multipliziert man mit c 2 und erhält: m d c 2 = mc 2 + m v 2 __ 2 + m 3 v 4 ___ 8 c 2 + … mc 2 hat die Einheit einer Energie. Die Summanden müssen also alle die Einheit einer Energie haben. Die Gleichung stellt die Energiebilanz eines Objekts dar. Links steht die Gesamt- energie . Rechts kommt ab dem zweiten Term die Geschwin- digkeit vor. Alle diese Terme sind also der kinetischen Energie ( E k ) zuzuordnen und sie verschwinden, wenn die Geschwindigkeit null ist. Der erste Term aber bleibt auch bei v = 0 über. Selbst ein ruhender Körper hat also überraschen- derweise die Energie mc 2 . Wir nennen diese die Ruheenergie . Daraus kann man ganz allgemein Folgendes ableiten: Wird einem System die Energie ∆ E zugeführt, so muss sich seine Masse um den Betrag ∆ m = ∆ E / c 2 erhöhen. Man kann die obere Gleichung auch so schreiben: m d c 2 = mc 2 + E k Für die relativistische kinetische Energie folgt dann: E k = m d c 2 – mc 2 = ( m d – m ) c 2 i CLIL – Seemingly out of nowhere Where does the mass come from to produce proton and an- tiproton out of nothing ( F5 )? The mass was already there before, and it was in the kinetic energy (dynamic mass) of the electrons that were approaching each other ( m d ). What is the minimum velocity of electrons? We take the relative electron mass ( m e ) by 1. Protons and antiproton mass ( m p ) are then 1836 times as large. Therefore, for the dynamic electron mass before the collision, the following must be used: m d ≥ m e + 1836 m e = 1837 m e . It follows: m d ≥ 1 837 m e = m e ______ √ __ 1 − v 2 __ c 2 ⇒ v _ c ≥ √ _______ 1 – 1 _____ 1 837 2 ≈ 0,99999985 i Fig. 11.7: A particle collision at the CMS detector: The colliding particles lose part of their mass and produce new particles. Zusammenfassung Energie und Masse sind äquivalent. Das ist die Hauptaus- sage von E = mc 2 . Jeder Form von Energie kann man daher eine Masse zuschreiben. Jede Energiezufuhr erhöht die Masse und umgekehrt. Z Bearbeite die Aufgaben! Relativistische Masse und Energie Zeige, dass bei Geschwindigkeiten v << c der Ausdruck E k = ( m d – m ) c 2 in den dir bekannten Ausdruck mv 2 /2 übergeht. L Man kann ein Objekt nicht auf c beschleunigen, weil dann seine dynamische Masse unendlich groß wäre. Photonen bewegen sich immer mit c . Warum ist das möglich? L Rechne die Bindungsenergie eines Deuterons in Elektronvolt um. Die Bindungsenergie von Molekülen liegt im Bereich von Elektronvolt. Überlege, welchen Schluss man daraus ziehen kann. L Überlege, wie man aus der Definition der Kraft über den Impuls und mit Hilfe der Integralrechnung E = mc 2 ableiten kann. Versuche mit Hilfe des Lösungsteils Schritt für Schritt nachzuvollziehen. L In Teilchenbeschleunigern wird die relativistische Massenzunahme bestens bestätigt. Der größte Beschleuniger der Welt ist der Large Hadron Collider am CERN. Dort lässt man etwa Protonen aufeinander prallen. Für ihre Kreisbahn ist die Zentripetalkraft F zp = mv 2 ___ r notwendig. Deshalb lässt man die Teilchen durch starke Magnetfelder fliegen, wodurch sie von der Lorentz-Kraft F L = I · s · B quer zur Flugrichtung abgelenkt werden. Berechne, um welchen Faktor die magnetische Induktion B erhöht werden muss, um die Protonen auf der Kreisbahn zu halten, wenn diese auf 0,999999991 c beschleunigt werden. Für den Strom gilt I = Q / t , wobei Q die Ladung ist. L Zwei mit sehr hoher Geschwindigkeit zusammensto- ßende Elektronen (e – ) können zusätzlich ein Proton (p + ) und ein Antiproton (p – ) erzeugen (siehe Abb. 11.5). Protonen und Antiprotonen habe eine Masse, die 1836-mal so groß ist wie die der Elektronen. Berechne, mit welcher Mindestgeschwindigkeit man die beiden Elektronen aufeinander schießen muss, damit diese Reaktion ablaufen kann? L Angenommen, eine AA-Batterie hat im aufgeladenen Zustand rund 9600 Coulomb. Es gilt E = Q · U . Berechne, wie viel Masse die Batterie verliert, wenn sie komplett entladen wird. L 11 F6 A1 F7 A2 F8 A1 F9 A1 F10 A1 F11 A2 F12 A2 Nur zu Prüfzwecken e – Eigentum des Verlags öbv