Big Bang HTL 3, Schulbuch

8 Ausgewählte Kapitel der klassischen Physik (III. Jg., 5. Sem.) Mathematisch betrachtet entspricht die Bewegungsglei- chung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Bahnkurve s ( t ): m · d 2 s ( t ) _____ d t 2 = F ( t , s , v ). Die Kraft F kann von der Zeit t , dem Ort s und der Geschwin- digkeit v abhängen. Aus dieser Gleichung heraus lassen sich alle Bewegungen berechnen, wenn man die Kraft bzw. die Beschleunigung kennt. Exemplarisch sind hier zwei Bei- spiele angeführt. Info: CLIL – Voyager 1 Info: Turmsprung CLIL – Voyager 1 The space probe Voyager 1 (Fig. 1.10) was launched in 1977 . On November 25 th , 2017, at 11 : 14 and 10 seconds, it was 21,010,041,793 km away from Earth (about 21 billion km), moving at 17,123 km/s. It has no booster rockets! How will it move on? Because the Voyager is not under acceleration, a = d 2 s ___ d t 2 = 0 applies. By a single integration with respect to t , we get d s __ d t = v 0 = C 1 . Voyager continues to fly at the same speed. The constant C 1 is nothing but the velocity of the probe and the equation is a mathematical formulation of the law of inertia (see Section 6.2, Volume 1). A second integration gives us s ( t ) = v 0 · t + C 2 . The constant C 2 is the distance of the probe at a particular time and can be designated as s 0 . We obtain, in sum, the equation s ( t ) = v 0 · t + s 0 . With this equation, and the data above, it is possible to calculate the probes future trajectory. For example, NASA has estimated that the Voyager will pass the star Gliese 445 in the con- stellation Giraffe, in about 40,000 years. This star is moving toward us, and at that time will be only about 3 ly away from our sun. Exercises: 1 How far will Voyager I be away in 40,000 years? 2 What is the name of the nearest star to our sun today? i Fig. 1.10: Voyager 1 Zusammenfassung Um die Steigung einer Kurve in jedem beliebigen Punkt zu bekommen, bildet man den Differentialquotienten der Funktion. Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der s - t -Funktion und daher d s /d t , und die Beschleunigung entspricht der Steigung der v - t -Funktion und somit d v /d t . Ausgehend von der s - t -Funktion kann man somit die Beschleunigung zu jeder Zeit ermitteln oder umgekehrt aus bekannter Beschleunigung die Ortsfunktion berechnen. Turmsprung Nimm an, du springst eine „Kerze“ vom 5-m-Brett (Abb. 1.11). Wie kann man die Höhe der Füße über dem Boden ( h ) als Funktion der Zeit berechnen? In diesem Fall ist die Be- schleunigung die Fallbeschleunigung und es gilt: a = d 2 h ___ d t 2 = – g . Durch einmalige Integration nach t erhalten wir d h ___ d t = v ( t ) = – g t + C 1 . Die Integrationskonstante C 1 ist die Anfangsgeschwindigkeit und kann als v 0 bezeichnet werden. Eine zweite Integration liefert h ( t ) = – g _ _ 2 t 2 + v 0 t + C 2 . Die Integrationskonstante C 2 legt man als Höhe zum Zeit- punkt des Absprunges mit h 0 fest. Man erhält daher also als Lösungsfunktion h ( t ) = – g __ 2 t 2 + v 0 t + h 0 . Wenn du z. B. so ins Brett springst, dass du zu Beginn eine Aufwärtsgeschwindigkeit von v 0 = 5m/s hast, dann sieht das s - t -Diagramm so aus wie in Abb. 1.12. i Abb. 1.11: Mit welcher Geschwindigkeit taucht man ein? Abb. 1.12: Die Höhe der Füße über dem Wasserspiegel Z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv